Question

这是问题所在：

多少个整数0≤n<0。 10 ^ 18具有n的数字之和等于137n的数字之和的属性

这种解决方案非常低效。我错过了什么？

#!/usr/bin/env python
#coding: utf-8

import time
from timestrings import *

start = time.clock()

maxpower = 18
count = 0

for i in range(0, 10 ** maxpower - 1):
    if i % 9 == 0:
        result1 = list(str(i))
        result2 = list(str(137 * i))
        sum1 = 0
        for j in result1:
            sum1 += int(j)
        sum2 = 0
        for j in result2:
            sum2 += int(j)
        if sum1 == sum2:
            print (i, sum1)
            count += 1

finish = time.clock()

print ("Project Euler, Project 290")
print ()
print ("Answer:", count)
print ("Time:", stringifytime(finish - start))

Answer 1

首先，你要数，而不是显示命中。

这非常重要。您所要做的就是设置一种有效的方法来计算它。就像乔恩·本特利（Jon Bentley）在编程珍珠（Programming Pearls）中所写的那样：“任何考虑所有字母排列的方法都注定要失败”。事实上，我试过在python中，只要“i”命中10 ^ 9，系统就已经冻结了。消耗了1.5 G内存。更不用说10 ^ 18了。这也告诉我们，再次引用宾利，“定义问题大约是这场战斗的百分之九十。”

要解决这个问题，我看不到没有动态编程（dp）的方法。事实上，大多数那些荒谬巨大的欧拉问题都需要某种dp。 dp本身的理论相当学术和干燥，但实现dp解决实际问题的想法实际上并不是很有趣和丰富多彩。

问题的一个解决方案是，我们从0-9然后是10-99然后是100-999，依此类推并提取数字的签名，汇总具有相同签名的数字并将它们全部作为一块处理，从而节省空间和时间。

观察： 3 * 137 = 411和13 * 137 = 1781.让我们将第一个结果“411”分解为两部分：前两个数字“41”和最后一个数字“1”。 “1”正在停留，但“41”部分将被“携带”进行进一步的计算。让我们称之为“41”，即签名的第一个元素。当我们计算13 * 137,23 * 137,33 * 137或43 * 137时，“1”将保持最小的数字。所有这些* 3数字都有一个“3”作为他们最右边的数字和最后一位数字137 * n总是1.也就是说，这个“3”和“1”之间的差值是+2，把这个+2称为“差异”作为签名的第二个元素。

好的，如果我们要找到一个两位数字，最后一位数为3，我们必须找到一个满足

的数字“m”

diff_of_digitsum (m, 137*m+carry) = -2 (1)

中和早先积累的+2差异。如果我能做到这一点，那么你知道m * 10 + 3，在你写的纸上：“m3”，是一个打击。

例如，在我们的例子中，我们尝试了数字1. diff_of_digitsum（数字，137 *数字+进位）= diff_of_digitsum（1,137 * 1 + 41）= -15。哪个不是-2，所以13不是命中。

让我们看99. 9 * 137 = 1233.“差异”是9 - 3 = +6。 “Carry”是123.在第二次迭代中，当我们尝试添加数字9到9并使其为99时，我们有diff_of_digitsum（数字，137 *数字+进位）= diff_of_digitsum（9,137 * 9 + 123）= diff_of_digitsum （9,1356）= -6并且它中和了我们的剩余6.所以99是一个打击！

在代码中，我们只需要18次迭代。在第一轮中，我们处理单位数字，第二轮2位数字，然后是3位数......直到我们得到18位数字。在具有如下结构的迭代之前创建一个表：

table[(diff, carry)] = amount_of_numbers_with_the_same_diff_and_carry

然后迭代开始，你需要不断更新表。如果遇到新签名，请添加新条目，并始终更新amount_of_numbers_with_the_same_diff_and_carry。第一轮，单个数字，填充表：

0：0 * 137 = 0，diff：0; carry：0。table [（0,0）] = 1

1：1 * 137 = 137.diff：1 - 7 = -6; carry：13。table [（ - 6,13）] = 1

2：2 * 137 = 274.diff：2 - 7 = -5;随身携带：27.表[（ - 5,27）] = 1

等等。

第二次迭代，“10”数字，我们将作为你的“m”越过数字0-9并在（1）中使用它来查看它是否能产生中和“差异”的结果。如果是，则表示此m将使所有那些amount_of_numbers_with_the_same_diff_and_carry成为命中。因此计数不显示。然后我们可以计算出新的差异和携带这个数字的加载，就像在例子9中有diff 6并携带123但99有diff 9 - 6（最后一位数从1356）= 3并携带135，替换旧表使用新信息。

最后一条评论，请注意数字0.在迭代中会出现很多次并且不要过多计算，因为0009 = 009 = 09 = 9.如果使用c ++，请确保总和是无符号的很长很长，因为它很大。祝你好运。

Answer 2

您正试图通过暴力解决项目欧拉问题。这可能适用于前几个问题，但对于大多数问题，您需要考虑更复杂的方法。

由于恕我直言并未提供有关此问题的具体建议，请查看this answer中的一般建议。

Answer 3

这个7位数的暴力Python解决方案为我跑了19秒：

print sum(sum(map(int, str(n))) == sum(map(int, str(137 * n)))
          for n in xrange(0, 10 ** 7, 9))

在同一台机器上，单核心，相同的Python解释器，相同的代码，大约需要3170年来计算18位数（如问题所示）。

请参阅dgg32的答案，了解更快计算的灵感。

数字，属性的总和，请提示

3 个答案: