Question

此代码计算有多少整数三元组总和为0：完整代码为here。

initialise an int array of length n
int cnt = 0 // cnt is the number of triples that sum to 0
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i+1; j < n; j++) {
        for (int k = j+1; k < n; k++) {
            if (array[i]+array[j]+array[k] == 0) {
                cnt++;
            }
        }
    }
}

现在，根据罗伯特·塞奇威克的书“算法”，我读到了：

cnt到0的初始化只执行一次。
cnt++从0执行到找到三元组的次数。
if语句执行n(n-1)(n-2)/6次。

我做了一些实验，所有这些都是真的。但我完全不知道他们如何计算if语句执行的次数。我不确定，但我认为：

n表示来自i to n
(n-1)表示从i+1到n
(n-2)表示从j+1到n
/6我不知道这是为了什么。

任何人都可以解释如何计算这个吗？

Answer 1

它的总和。

每次到达时，内循环执行n-j-1次
每次到达时，中间循环执行n-i-1次
外循环执行n次。

Sum all of these您获得调用cnt++的总次数。

请注意，每次执行中间循环的次数不是n-1，而是n-i-1，其中i是外循环的索引。同样适用于中间循环。

/6因素来自于求和公式中的考虑因素。

Answer 2

这可以被视为combinatorial问题。要从n项目中选择3个唯一项目（链接文章中为k=3），可以提供n!/(n-3)! = n*(n-1)*(n-2)种可能性。但是，在代码中，3个项目的顺序并不重要。对于3个项目的每个组合，有3! = 6个排列。所以我们需要除以6才能获得无序的可能性。我们得到n!/(3!(n-3)!) = n(n-1)(n-2)/6

Answer 3

第一个循环执行N次（0到N-1）

执行外循环的时间是：

Fi(0) + Fi(1) + Fi(2)...Fi(N-1)

当i为0时，中间循环执行N-1次（1到N-1）
当i为1时，中间循环执行N-2次（2到N-1）
...

执行中间循环的时间是：

Fi(0) = Fj(1) + Fj(2) ... Fj(N-1)
Fi(1) = Fj(2) + Fj(3) ... Fj(N-1)
Fi(0) + Fi(1) + Fi(2)...Fi(N-1) = Fj(1) + 2Fj(2) + ... (N-1)Fj(N-1)

现在来到最里面的循环：

当j为1时，内循环执行N-2次（2到N-2）
当j为2时，内循环执行N-3次（3到N-2）
...

Fj(1) = Fk(2) + Fk(3) ... Fk(N-1) = 2 + 3 + ... N-1
Fj(2) = Fk(3) + Fk(4) ... Fk(N-1) = 3 + 4 + ... N-1
Fj(1) + 2Fj(2) + ... (N-1)Fj(N-1) = (2 + 3 + ... N-1) + (3 + 4 + ... N-1) ... (N-1)
  = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 .... (N-2) x (N-1)
  = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 .... (N-1)*(N-1) - (1 + 2 + 3 + 4 + N-1)
  = (N-1) N (N+1) / 6 - N (N-1) / 2
  = N (N-1) ((N+1)/2 - 1/2)
  = N (N-1) (N-2) / 6

您可能还需要检查：公式，以计算first N natural numbers的平方和first N natural numbers的总和。

替代解释：

您正在寻找所有三胞胎对。这可以用^N C ₃方式完成。即(N) * (N-1) * (N-2) / (1 * 2 * 3)种方式。

Answer 4

该公式的基础来自进展的总和：

1+2 = 3
1+2+3 = 6
1+2+3+4 = 10

存在公式：

Sum(1..N) == N*(N+1)/2

1+2+3+4 = 4*5/2 = 10

通过递归进展（就像在这种情况下），您可以得到另一个总和公式。

Answer 5

在你的代码中，我从0运行到n，j从i到n，k从j到n，if语句执行大约n ^ 3/6次。要了解为什么会这样，请查看此代码，这些代码显然会经常执行if语句：

int cnt = 0 // cnt is the number of triples that sum to 0
for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            if (j > i && k > j) {
                if (array[i]+array[j]+array[k] == 0) {
                    cnt++;
                }
            }
        }
    }
}

内循环现在显然执行n ^ 3次。如果i

计算执行if语句的次数

5 个答案: