图表上的代码输出和本地竞赛的一些声明？

Question

我遇到了如下问题：

我们有一个带有正边和负边​​的加权非循环图G(V, E)代码。我们使用以下代码更改此图表的权重，以提供没有负边缘G的{​​{1}}。如果(G')和V={1,2...,n}是边缘i到边缘j的权重。

G_ij

我们有两个公理：

1）G中每两个顶点之间的最短路径与G'相同。

2）G中每两个顶点之间的最短路径长度与G'相同。

  

我们要验证这两句话。哪一个是真的，哪一个是假的。谁可以添加一些提示为什么这些是真是假？

我的解决方案：

我认为两个是假的，如下面的反例所示，原始图形在左边给出，并且在算法运行之后，结果在右边1到3之间的最短路径改变，它从顶点2传递但是在算法运行它从未从顶点2传递。

Answer 1

<强>假设：

您提出的问题存在一些问题;我做了一些假设，我在这里澄清一下。鉴于这些假设是正确的，您的问题的答案在下面的部分中。

首先，正如@amit所说，您对j的使用尚不清楚。看来你的意思是：

Change_weight(G)
  for i = 1 to n   
    c_i = min(c_ij)  for all j
    if c_i < 0 
      c_ij = c_ij-c_i  for all j
      c_ki = c_ki+c_i  for all k

也就是说，对于每个顶点i，如果最小的出口边c_i为负，则将所有出局边的权重增加-c_i并减少所有入边的权重按-c_i。然后最小的输出边缘的权重为0。

第二，单独此算法不保证G'没有负边！请考虑以下图表：

这里，(1,2)上的操作将边1的值向上推到0，但是2上的操作将其推回到-1。您必须指定图表采用相反的拓扑顺序，以便在(i,j)进行操作之前，j始终会对边i进行操作。 （或者，您可以按拓扑顺序对其进行排序，并从n to 1进行迭代。）

回答您的问题：

1）G中每两个顶点之间的最短路径与G'中的最短路径相同。

这是事实。将路径视为边缘元组，而不是节点元组。对于顶点s和t，路径是节点(s, v_1, v_2, ..., t)的元组，其中每两个后续元素之间存在边。对于每个顶点u，u以与增加传出边缘成本相同的速率降低了传入边缘的成本;因此，在路径中包含u的相对成本不变。

2）G中每两个顶点之间最短路径的权重与G'中的相同。

这是错误的。来源s将其传出权重增加-c_s，而目标t将其传入权重减少-c_t。如果c_s != c_t，则路径的权重将不相同。

重申一下，从s到t的每条路径的权重都会增加(c_t-c_s)。因此，给定s和t对的最短路径仍然是最短的（因为该对之间的所有路径都改变相同的量）。但是，重量显然不一定相同。