Question

此算法查找低于N

的所有素数

var f = function(n){
    var primes = [2];  //1
    var flag; //1
    for(var i=3; i<n; i+=2){  // ( from 3 to n-1 ) / 2
        flag = true; //1
        var startI = 0; // 1
        for(var y=primes[startI]; y<=Math.sqrt(i); y=primes[++startI]){ // ???
            if(i%y === 0) // 1
                flag = false; // 1
        }
        if(flag) // 1
            primes.push(i); // 1
    }
    return primes; // 1
}

到目前为止，我的分析已经完成，直到第一个循环，我不知道如何处理第二个总和（使用primes.length和Math.sqrt的那个）。

T（n）= 1 + 1 +总和（（1 + 1 + ??奇怪的总和???），从i = 3到n -1）/ 2 + 1 + 1

我理解如何分析直到第二个嵌套循环，我怀疑它是围绕log（N）或类似的东西，但我想知道迭代的确切数量..

问题：

如何处理在内存中使用数组进行迭代的那种循环？
如果无法获得确切的数字，我怎样才能得到一个好的近似值？

感谢任何帮助（链接到类似案例，书籍等）。

Answer 1

内循环遍历sqrt(i)以下所有素数的数组。所以你必须计算该数组中的元素数量。对于素数数组，您必须使用π(i)的近似值，即i以下的素数。

您可以按x/ln(x)或（更好）li(x)来估算它们。更多details here。

对于分析，x/ln(x)会更容易。

总得到（假设n = 2k+1）

T(n) = T(n-2) + O(sqrt(n)/( (1/2)⋅ln(n) )) = O( Σ_{i = 1,...,k} 2⋅sqrt(2⋅i+1)/ln(2⋅i+1) )

你从内部for循环中得到递归公式，它遍历低于sqrt(n)（近似为sqrt(n)/( (1/2)⋅ln(n) )）的素数数组，以及你需要做的工作，由T(n-2)代表。

也许你可以简化这个。我不想从你那里获得乐趣：）

提示：也许您可以使用积分来得到总和的近似值。但我认为没有“好”的方式来写下来。

如果你忘了1/ln(i) - 部分，你可以看到 T(n) ∈ o(n^3/2)和T(n) ∈ ω(n)。也许你可以做得更好。

正如@vib所提到的，你可以获得更严格的上限O(n^3/2/ln(n))。但请注意sqrt(n)/ln(n)只是低于sqrt(n)的素数的近似值。因此，您可以通过更好的近似获得更好的界限。由于此近似值未提供π(n)的确切值，因此无法表示此算法在Θ(n^3/2/ln(n))中运行。

如何计算此素数查找器算法的T（N）

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