Question

面试中这是一个有趣的问题，我没有成功。

数组有 n 个不同的元素[A1 .. A2 .... An]（随机顺序）。

我们有一个比较器C， ，但它有一个概率p来返回正确的结果。

现在我们使用C来实现排序算法（任何种类，气泡，快速等）。

排序后我们有[Ai1，Ai2，...，Ain] （可能是错误的）。

现在给出一个数字 m （m

{A1，A2，...，Am}与{Ai1，Ai2，...之间的交点大小 S 的期望是什么换句话说，目标是什么是E [S] ？
m，n和p 之间的任何关系？

如果我们使用不同的排序算法， E [S]将如何变化？

我的想法如下：

当m = n时，E [S] = n，肯定

当m = n-1时，E [S] = n-1 + P（Ain中的An）

我不知道如何完成答案，但我认为可以通过归纳解决.. 我认为任何模拟方法都可以。

Answer 1

嗯，如果A1，A2，...，An是随机顺序（如问题中所述），那么比较器C的所有排序和正确概率并不重要。然后将问题简化为期望两个随机子集的交叉长度，每个子集的大小为m，{A1，...，An}。

S为k的概率为(m k)*((n-m) (n-k))/(n m)，其中(a b)表示＆＃34; a b＆＃34;，b元素从{{ 1}}元素。（因为对于第二个子集，我们必须从第一个子集中选择a个元素，并从其余子集中选择k元素。）

E [S]则为m-k，后者缩减为sum(0 <= k <= m) k*(m k)*((n-m) (n-k))/(n m)。这个总和是给出m/(n m) * sum(0 <= k <= m) ((m-1) (k-1))*((n-m) (n-k))的基本（众所周知的）二项式身份，所以最后得到((n-1) (m-1)) = m/(n m) * ((n-1) (m-1))。

Answer 2

修改后问题的部分答案：

假设Ai1，...，Aim不与初始（随机）数组开始相交，但是使用正确排序的数组Aj1，...，Ajn的前m个值。（这似乎更有趣）
让我们进一步假设比较器C是非确定性的。
为简单起见，我们假设所有数组元素都不同且n = 2 ^ N。

现在这里的部分答案首先仅限于

m = 1的
sorting-algorith = merge sort

Aj1是最小的元素。在合并排序中，每个元素的比较ld（n）= N次。当且仅当它在每个ld（n）= N比较中变小时，最小元素被分类到第一个位置。因此概率P（Ai1 = Aj1）= p ^ N，其等于m = 1所请求的E [S]。所以我们得到

E[S] = p^ld(n)

这是

的部分答案

m = 1的
排序算法=冒泡排序，首先获得最小的元素

如果最小元素在开头的位置k（Ak = Aj1），那么需要max（k-1,1）个正确的比较才能将Ak带到前面（Ak = Ai1）。由于所有n个起始位置同样可能，我们得到

E[S] = P(Ai1=Aj1) = 
     = P(Ai1=Aj1|Aj1=A1)*P(Aj1=A1) + ... + P(Ai1=Aj1|Aj1=An)*P(Aj1=An) =
     = 1/n (p + p + p^2 + ... + p^(n-1)) = 1/n ((1-p^(n-1))/(1-p)+p-1) =
     = (2p - p^2 - p^(n-1)) / (n(1-p))

一般情况下祝你好运！

可能错误比较器的排序算法分析？

2 个答案: