最小集合覆盖算法：寻找最佳覆盖的大小

Question

集合覆盖问题包括以下内容：

  

鉴于：

     

    

    

1. 一组项目U.

    

2. 一组集合S，每个集合S包含来自U的项目。

       

     

找到集合C的集合：

     

    

    
1. C是S的子集。
    
2. C中的集合包含U.中的所有项目（至少一次）。
       

     

可选地，可以找到最小 C，即| C |尽可能小。

Wiki Link to Set Cover Problem

我知道SCP是NP-Complete，MSCP（或Optimal SCP）是NP-Hard，并且可以使用许多技术中的一种来找到它（贪心算法，遗传算法，人工神经网络）。

但是，我想问一下，找到C（即| C |）的大小是否也是NP-Hard。

举例：

Given the following S:
[2 4 6], [1 3 5], [3 2 1], [5 4 6], [2 3 5]

And U being: 
1 2 3 4 5 6

A possible Set-Cover (C) is:
[2 4 6], [1 3 5], [2 3 5]

However, the Optimal Set-Cover (C) is:
[3 2 1], [5 4 6]

Thus |C|, the size of the Optimal Set-Cover is 2.

我想找到| C |没有解决问题。 这是NP-Hard吗？如果没有，怎么能找到这个呢？

Answer 1

如果您能在P时间内找到最小封面的大小，那么您也可以在P时间内找到最小封面。

对于S中的每个X，找到U - X的最小封面的大小。如果它比U的最小封面的大小小，那么你知道有一个包含X的最小封面（注意：最小封面为U - X从不包括集合X）。重复，直到找到最小的封面。

请注意，封面的大小最多为| U |，每次迭代都需要| S |要考虑X，所以如果你有P时间方法找到最小覆盖的大小，整个过程就是P-time。