Question

在Coq中，我遇到了在以下情况下应用rewrite策略的问题：

Section Test.

Hypothesis s t        : nat -> nat.
Hypothesis s_ext_eq_t : forall (x : nat), s x = t x.

Definition dummy_s : nat -> nat :=
  fun n => match n with
         | O => 42
         | S np => s np
       end.

Definition dummy_t : nat -> nat :=
  fun n => match n with
         | O => 42
         | S np => t np
       end.

Goal forall (n : nat), dummy_s n = dummy_t n.
Proof.
  intro n. unfold dummy_s. unfold dummy_t.

在该阶段，当地背景和当前目标如下：

1 subgoals, subgoal 1 (ID 6)

s : nat -> nat
t : nat -> nat
s_ext_eq_t : forall x : nat, s x = t x
n : nat
============================
match n with
| 0 => 42
| S np => s np
end = match n with
      | 0 => 42
      | S np => t np
      end

现在应该可以应用rewrite策略来s np替换目标中t np的出现，从而可以使用{{1}来解决目标}。然而，

reflexivity

给出

rewrite s_ext_eq_t.

我做错了什么？一个可以通过

进入

Toplevel input, characters 0-18:
Error: Found no subterm matching "s ?190" in the current goal.

适用的情况

rewrite

但是在我面临的实际情况中，有几个这样的破坏是必要的，我想知道destruct n. (* n = 0 *) reflexivity. (* n > 0 *) rewrite s_ext_eq_t. reflexivity. Qed.或其变体是否能够自动完成。

附录当证明通过有根据的递归定义的函数具有所需的定点属性时，上述情况自然会发生：

假设rewrite且A: Type是一个有充分根据的关系，即我们R: A -> A -> Prop。然后，给定类型族Rwf: well_founded R，我们可以构建一个部分

P: A -> Type

通过递归Fix : forall (x : A), P a，递归步骤作为函数

请参阅https://coq.inria.fr/library/Coq.Init.Wf.html但是，要显示F : forall x:A, (forall y:A, R y x -> P y) -> P x确实具有固定点属性

Fix

我们需要提供证人

  forall (x : A), Fix x = F (fun (y:A) _ => Fix y)`

即。我们必须证明F_ext : forall (x:A) (f g:forall y:A, R y x -> P y), (forall (y:A) (p:R y x), f y p = g y p) -> F f = F g.不使用给定F中的任何其他内容，而是使用其值。当然，在任何具体的情况下，这应该是微不足道的验证，但是当一个人试图证明它时，会遇到一个我在上面提到的最小例子的情况：一个面临两个代码副本的巨大相等性对于递归步骤，一次使用f: forall y:A, R y x -> P y，另一次使用f。您的假设表明g和f在扩展上是相等的，因此应该能够重写它们。但是，在递归步骤的代码中，可能存在大量的模式匹配和新变量，这些变量在本地上下文中没有意义，因此g数十个（不必要地）是非常繁琐的允许申请destruct之前的时间。

Answer 1

正如上面的评论所述，可能直接在match语句的分支上执行重写，因为np不在范围内顶级环境。就Coq的理论而言，你的陈述的证明必须在某些时候毁掉n。

虽然我不知道有任何自动化这类问题的策略，但是在没有太多痛苦的情况下提出一些自定义的ltac代码来解决你的问题并不是很难：

Ltac solve_eq :=
  try reflexivity;
  match goal with
  | |- match ?x with _ => _ end
       = match ?x with _ => _ end =>
    destruct x; auto
  end.

Goal forall (n : nat), dummy_s n = dummy_t n.
Proof.
  intro n. unfold dummy_s. unfold dummy_t.
  solve_eq.
Qed.

如果您的扩展相等结果是出现在您的上下文中的假设，那么solve_eq应该能够解决这种形状的许多目标;如果没有，您可能需要在提示数据库中添加额外的引号。

重写策略无法在模式匹配中找到术语出现

1 个答案: