Question

我有以下问题：

解决以下重现关系，简化您的最终答案   使用'O'符号。

f（0）= 3

f（1）= 12

F（N）= 1207（N-1）-9f第（n-2）

我们知道这是一个齐次的二阶关系，所以我们写出特征方程：a^2-6a+9=0，解是a1,2=3。

问题是当我更换这些值时，我得到：

f(n)=c1*3^n+c2*3^n

并使用我有的2个初始关系：

f(0)=c1+c2=3
f(1)=3(c1+c2)=12

这使我没有c1和c2这样的值，这两个关系都是正确的。

我做错了吗？当涉及到特征方程的相同根时，它应该解决的方式是不同的吗？

Answer 1

您无法通过这种方式解决问题，因为矩阵A不可对角化。但是，如果您使用Jordan的正常形式，那么这就是您所获得的：

f(n) = 3^{n-1}(3n + 9)

Jordan矩阵和基础（维基百科+ Octave的符号）是：

J := [3,1;0,3]
P := [3,4;1,1]

这样PJP ^ { - 1} = A，其中

A := [6,-9;1,0]

是你的递归矩阵。此外，Jordan矩阵几乎与用于计算能力的对角矩阵一样好：

J^n = 3^(n-1) * [3,n;0,3].

然后再次发生：

[f(n+1); f(n)] = A^n [12,3] = PJ^nP^-1[12,3] = (<whatever>, 3^(n-1)*(3n+9)).

这里有一个快速的数字检查（Scala，但你可以随心所欲，Octave或我喜欢的任何东西）：

scala> def f(n: Int): Int = { if (n == 0) 3 else if (n == 1) 12 else (6 * f(n-1) - 9 * f(n-2)) }
f: (n: Int)Int

scala> for (i <- 0 until 20) println(f(i))
3
12
45
162
567
1944
6561
21870
72171
236196
767637
2480058
7971615
25509168
81310473
258280326
817887699
                                                                    ^

scala> def explicit(n: Int): Int = (Math.pow(3, n -1) * (3 * n + 9)).toInt
explicit: (n: Int)Int

scala> for (i <- 0 until 20) println(explicit(i))
3
12
45
162
567
1944
6561
21870
72171
236196
767637
2480058
7971615
25509168
81310473
258280326
817887699

递归关系 - 特征方程的等根

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