设计一个图表，其中最短路径树比最小生成树长

Question

设计一个图表示例，其中shortest path tree比最小生成树长。

在最坏的情况下，最短路径树的长度是多少 最小生成树？

Answer 1

考虑以下图表，其中边缘的成本写在大括号之间：

1
|
|(1)
|
2
| \
|  \
|   \
|    \
|(25) \ (10)
|      \
3-------4     
   (20)

然后，以顶点1为根的最短路径树是：

1
|
|(1)
|
2
| \
|  \
|   \
|    \
|(25) \ (10)
|      \
3       4    

，而图的最小生成树是：

1
|
|(1)
|
2
  \
   \
    \
     \
      \ (10)
       \
3-------4     
   (20)

至于你的第二个问题，我想不出答案。

Answer 2

回答第二个问题：如果图形有n个顶点，则最短路径树的长度为L，最小生成树的长度为K，则L <（n-1）K，但是L可以任意接近（n-1）K。为什么L＆lt; （n-1）K：最短路径树中的每条边都小于最小生成树的长度。它们中有（n-1）个，因此最短路径树的长度小于（n-1）K。但差异可以任意小。

考虑顶点1距离为M的图，这是一个非常大的数字，距离顶点2，...，n。 2，...，n中任意两个顶点的距离都是非常小的数e。然后，以1为根的短路径树的长度为（n-1）M，而最小生成树的长度为（n-2）e + M.当e为时，该比率约为（n-1）非常小，M非常大。