Question

我编写了一个使用maclaurin系列计算sin的代码，但是当我尝试为大x值计算它并试图通过给出一个大的N阶（总和的长度）来抵消它时 - 最终它会溢出并没有给我正确的结果。这是代码，我想知道是否有一种额外的方法来优化它，因此它适用于大的x值（它已经适用于小x值和非常大的N值）。这是代码：

long double calcMaclaurinPolynom(double x, int N){
    long double result = 0;
    long double atzeretCounter = 2;
    int sign = 1;
    long double fraction = x;

    for (int i = 0; i <= N; i++)
    {
        result += sign*fraction;
        sign = sign*(-1);
        fraction = fraction*((x*x) / ((atzeretCounter)*(atzeretCounter + 1)));
        atzeretCounter += 2;

    }
    return result;
}

Answer 1

主要问题是使用超出其收敛范围的系列。

正如OP所说“转换x到radX =（x * PI）/ 180”表示OP以度而不是弧度开始，OP很幸运。找到my_sin(x)的第一步是减少范围。以度数开始时，减少是准确的。因此，在转换为弧度之前，请缩小范围。

long double calcMaclaurinPolynom(double x /* degrees */, int N){ // Reduce to range -360 to 360 // This reduction is exact, no round-off error x = fmod(x, 360); // Reduce to range -180 to 180 if (x >= 180) { x -= 180; x = -x; } else if (x <= -180) { x += 180; x = -x; } // Reduce to range -90 to 90 if (x >= 90) { x = 180 - x; } else if (x <= -90) { x = -180 - x; } //now convert to radians. x = x*PI/180; // continue with regular code

替代方案，如果使用C11，请使用remquo()。搜索SO以获取示例代码。

如上所述@ user3386109，无需“转换回度”。

[编辑]

对于典型的求和系列，将最不重要的术语首先相加可以提高答案的精确度。使用OP的代码，可以使用
完成
for (int i = N; i >= 0; i--)

或者，不是迭代固定次数，而是循环直到该项对总和没有意义。以下使用递归来首先对最不重要的术语求和。范围缩小在-90到90范围内，迭代次数不会过多。

static double sin_d_helper(double term, double xx, unsigned i) { if (1.0 + term == 1.0) return term; return term - sin_d_helper(term * xx / ((i + 1) * (i + 2)), xx, i + 2); } #include <math.h> double sin_d(double x_degrees) { // range reduction and d --> r conversion from above double x_radians = ... return x_radians * sin_d_helper(1.0, x_radians * x_radians, 1); }

Answer 2

您可以通过将符号变量合并到fraction中的(-x*x)更新中来避免使用该变量。

使用算法，您可以在阶乘中遇到整数溢出问题。

只要x*x < (2*k)*(2*k+1)错误（假设完全评估）受abs(fraction)限制，即系列中下一个字词的大小。

对于大x，最大的错误来源是截断。浮点误差通过取消交替序列的项而放大。对于k约x/2，第k个术语的大小最大，必须被其他大项所抵消。

减半和 - 磨边

在不使用pi值的情况下处理大x的一种简单方法是使用三角定理

sin(2*x)=2*sin(x)*cos(x)
cos(2*x)=2*cos(x)^2-1=cos(x)^2-sin(x)^2

首先通过减半来减少x，同时评估sin(x/2^n)和cos(x/2^n)的Maclaurin系列，然后使用三角平方（文字平方作为复数cos(x)+i*sin(x)）来恢复原始参数的值。

cos(x/2^(n-1)) = cos(x/2^n)^2-sin(x/2^n)^2
sin(x/2^(n-1)) = 2*sin(x/2^n)*cos(x/2^n)

然后

cos(x/2^(n-2)) = cos(x/2^(n-1))^2-sin(x/2^(n-1))^2
sin(x/2^(n-2)) = 2*sin(x/2^(n-1))*cos(x/2^(n-1))

等

有关sin和cos值的同时计算，请参见https://stackoverflow.com/a/22791396/3088138，然后用

封装它

def CosSinForLargerX(x,n):
    k=0
    while abs(x)>1:
        k+=1; x/=2
    c,s = getCosSin(x,n)
    r2=0
    for i in range(k):
        s2=s*s; c2=c*c; r2=s2+c2
        s = 2*c*s
        c = c2-s2
    return c/r2,s/r2

使用C计算用于sin的maclaurin系列

2 个答案:

减半和 - 磨边