找到一个圆的中心（x和y位置），只有2个随机点和凸起

Question

我试图找到一个圆圈的中心。我唯一的信息是： 圆圈中的两个随机点和圆形凸起。到目前为止，我已经设法计算圆的半径（至少我认为我做了）。不幸的是，到目前为止我已经使用了这种方法。

这些只是随机值，会在用户输入时发生变化）

PointA（x = 10，y = 15） PointB（x = 6，y = 12）

circle_bulge = 0.41

距离= PointB - PointA

radius =（距离/ 4）*（circle_bulge +（1 / circle_bulge））

如果这个数学不正确，请告诉我，但请记住，我需要找到圆心的X和Y坐标

Answer 1

以下是问题的图片：

根据定义，凸起 b = tg（ Alpha / 4）

根据三角公式：tg（2 angle ）= 2tg（ angle ）/（1-tg ² （角度））

应用于角度 = Alpha / 4并使用凸起的定义：

tg（ Alpha / 2）= 2 b /（1- b ² ）

另一方面

tg（ Alpha / 2）= s / d

然后

s / d = 2 b /（1- b ² ）和

d = s （1- b ² ）/（2 b ）

允许我们计算 d 因为 b 已知且 s = || B - A || / 2，其中|| B - A ||表示向量 B - A 的范数。

现在，让我们计算

（ u ， v ）=（ B - A ）/ || B < / em> - A ||

然后||（ u ， v ）|| = 1，（ v ， - u ）与 B - A 正交，我们有

C =（ v ， - u ） d +（ A + 乙）/ 2

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<强>更新

计算中心的伪代码

<强>输入

A = (a1, a2), B = (b1, b2) "two points"; b "bulge"

<强>计算：

"lengths"
norm := sqrt(square(b1-a1) + square(b2-a2)).
s := norm/2.
d := s * (1-square(b))/(2*b)

"direction"
u := (b1-a1)/ norm.
v := (b2-a2)/ norm.

"center"
c1 := -v*d + (a1+b1)/2.
c2 := u*d + (a2+b2)/2.
Return C := (c1, c2)

注意：中心有两种解决方案，另一种是

c1 := v*d + (a1+b1)/2.
c2 := -u*d + (a2+b2)/2.
Return C := (c1, c2)

Answer 2

我相信您在此参考中拥有所有必需的数学：http://autocad.wikia.com/wiki/Arc_relationships

圆周中心必须在直线上，该直线穿过具有垂直矢量AB的线段的中点。你知道三点形成的三角形的角度，因为你知道凸起，所以你必须解决一个简单的方程。尝试一下，如果你不能，我会尽力帮助你。

Ignacio正确指出将会有两种解决方案。

修改

中间点由：

给出

M = (A + B) / 2

AB载体是gien：

AB = A-B

具有坐标（X，Y）的圆C的中心必须在由下式给出的行中：

((X, Y) - M) * AB = 0 //where * is the scalar vector product

由点A，B和C生成的等腰三角形的角度与AB段相反：

Angle = 4 arctan(bulge)

现在我们可以计算从中心C到A的距离，我们称之为d1，A和B之间的距离是我们称之为d2的距离，我们知道

sin (Angle/2) = d2/d1

这将为您提供二次方的X和Y的第二个方程（它有两个解）。

请原谅，但我不知道如何在这里插入数学： - ）