Question

是否可以从表面上的3个点找到球体的中心及其半径？

我建立了一个分段脑结构的模型，这三个点将在结构内;头，尾和中间。

谢谢，

Answer 1

表示球体的中心与三个给定点等距并与它们共面（假设三个给定点在一个大圆上）。

(X - Xa)² + (Y - Ya)² + (Z - Za)² = R²    
(X - Xb)² + (Y - Yb)² + (Z - Zb)² = R²    
(X - Xc)² + (Y - Yc)² + (Z - Zc)² = R²    

|X  Y  Z  1|
|Xa Ya Za 1|
|Xb Yb Zb 1| = 0
|Xc Yc Zc 1|

从第二个和第三个方程中减去第一个方程，就可以摆脱二次项。

(2X - Xb - Xa)(Xb - Xa) + (2Y - Yb - Ya)(Yb - Ya) + (2Z - Zb - Za)(Zb - Za) = 0
(2X - Xc - Xa)(Xc - Xa) + (2Y - Yc - Ya)(Yc - Ya) + (2Z - Zc - Za)(Zc - Za) = 0

现在你有一个3个未知数的3个方程的简单线性系统。

为了简洁起见，您可以翻译三个点，以便Xa=Ya=Za=0，方程式简化为

|X  Y  Z |
|Xb Yb Zb| = 0
|Xc Yc Zc|

(2X - Xb) Xb + (2Y - Yb) Yb + (2Z - Zb) Zb = 0
(2X - Xc) Xc + (2Y - Yc) Yc + (2Z - Zc) Zc = 0

或

(Yb Zc - Yc Zb) X + (Zb Xc - Zc Xb) Y + (Xb Yc - Xc Yb) Z = 0
       2 Xb     X +        2 Yb     Y +        2 Zb     Z = Xb² + Yb² + Zb²
       2 Xc     X +        2 Yc     Y +        2 Zc     Z = Xc² + Yc² + Zc²

然后，R² = X² + Y² + Z²，不要忘记翻译。

Answer 2

这确实是可能的，但它总是会为您提供一个球体，该球体的表面输入点将位于其赤道上（意味着如果有第四个不共面的点，则还有其他更大的球体在其表面上具有这 3 个点).

但我认为最小的球体就是你想要的。以下用 C# 编写的代码为您提供了一个带有球心的 Vector3。然后可以使用任何输入点和结果中心之间的 Vector3.Distance（或简单的 pithagorean 距离）获得距离。

static public Vector3 BarycentricToWorld3D(Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3, float u, float v, float w) {
    return (u * p1 + v * p2 + w * p3) / (u + v + w);
}

static public Vector3 CircleBariCenter3D(Vector3 p1, Vector3 p2, Vector3 p3) {

    Vector3 a = p3 - p2;
    Vector3 b = p1 - p3;
    Vector3 c = p2 - p1;

    float u = Vector3.Dot(a, a) * Vector3.Dot(c, b);
    float v = Vector3.Dot(b, b) * Vector3.Dot(c, a);
    float w = Vector3.Dot(c, c) * Vector3.Dot(b, a);

    return BarycentricToWorld3D(p1, p2, p3, u, v, w);
}

请注意，没有检查共线点，这会使此操作失败。通过简单地提供这些共线点并在调试器中观察它失败来添加这样的检查应该是微不足道的。

致谢：我在 10 多年前获得了一个 maxscript 源代码，但丢失了原作者和位置，最近才将其翻译成 C#。

球体中心点和半径从表面上的3个点开始

2 个答案: