Question

我有以下内容：

elem :: Eq a => a -> [a] -> Bool
elem _ [] = False
elem x (y:ys) = x == y || elem x ys

我怎样才能证明所有x和y的所有......

elem z (xs ++ ys) == elem z xs || elem z ys

我试图让左侧等同于右侧，但是我的尝试都没有取得丰硕的成果。

L.S elem z (x:xs ++ y:ys) = z==x || z==y || elem xs || elem ys

R.S elem z (x:xs) || elem z (y:ys) = z==x || z==y || elem xs || elem ys

有人能帮助我吗？

Answer 1

这是一个暗示。

++运算符是通过对第一个参数的归纳来定义的：

[]     ++ ys = ys
(x:xs) ++ ys = x : (xs ++ ys)

你想要证明

elem z (xs ++ ys) == elem z xs || elem z ys

这是z，xs和ys的属性。我们称之为p(z,xs,ys)。此外，++的第一个参数是xs，因此建议在xs上进行归纳。

我们需要证明：

基本情况：p(z,[],ys)。
归纳案例：p(z,x:xs,ys)假设归纳假设p(z,xs,ys)

您还需要在某些时候利用elem的定义。

Answer 2

平等推理很有趣！如果你自己做一些证明，你会很快得到它的诀窍。我热烈推荐ch。 Graham Hutton的中的编程<13>中的简要介绍。

无论如何，你可以证明，对于所有等于和有限的（见Tom Ellis's answer）xs，ys和z，

elem z (xs ++ ys) == elem z xs || elem z ys

通过列表xs上的归纳。为此，您需要使用++，||和elem的定义，并使用||关联的事实：

[] ++ ys = ys (x:xs) ++ ys = x : (xs ++ ys) False || b = b True || _ = True elem _ [] = False elem x (y:ys) = x == y || elem x ys

基本案例

让ys为Eq a => [a]类型的值，z为Eq a => a类型的值;那我们有

elem z ([] ++ ys) = {applying ++} elem z ys = {unapplying ||} False || elem z ys = {unapplying elem} elem z [] || elem z ys

归纳案例

允许xs，ys为Eq a => [a]类型的值，以及类型x的{{1}}，z值。假设（归纳假设）

Eq a => a

然后我们

elem z (xs ++ ys) == elem z xs || elem z ys

（QED）

Answer 3

要扩展已接受的答案，当xs无限时，此等式也是如此。如果是elem z xs = True，那么elem z (xs ++ ys) = True = elem z xs || elem z ys。否则，elem z (xs ++ ys) = ⊥ = elem z xs || elem z ys，可以在ghci中轻松验证。

Answer 4

Haskell中的列表不满足归纳原理，因为Haskell是一种惰性语言，列表可能是无限的。相反，我相信你应该用相同的形式写两个表达式来表明它们是等价的。所需的形式是

f [] = z
f (x:xs) = g x (f xs)

使用这种方法来证明所需的结果

f xs = elem z (xs ++ ys)
f' xs = elem z xs || elem z ys

请注意，通过xs上的模式匹配并使用(++)和elem的定义，这些相当于

f [] = elem z ys
f (x:xs) = x == z || elem z (xs ++ ys)

f' [] = elem z ys
f' (x:xs) = x == z || elem z xs || elem z ys

我们可以将递归调用重写为

f [] = elem z ys
f (x:xs) = x == z || f xs

f' [] = elem z ys
f' (x:xs) = x == z || f' xs

如果我们定义g x rest = x == z || rest那么

f [] = elem z ys
f (x:xs) = g x (f xs)

f' [] = elem z ys
f' (x:xs) = g x (f' xs)

然后请注意f和f'的表达式相同。

我之前的回答不正确：

<德尔> 事实并非如此。考虑 xs =重复0 ys = [1] z = 1 然后 elem z ys = elem 1 [1] =真所以 elem z xs || elem z ys = True 但 elem z（xs ++ ys）= elem 1（重复0 ++ [1]）= False 因为在`repeat 0`中搜索`1`永远不会终止。这是一个典型的例子，说明为什么懒惰语言的等式理论不如严格语言那么丰富。正如其他答案所示，你可以通过结构归纳证明你的定理是* finite *`xs`。但这有点乞求这个问题。什么是*有限*列表？

我怎样才能证明elem z（xs ++ ys）== elem z xs ||你好吗？

4 个答案:

基本案例

归纳案例