离散数学问题 - 概率论与计数

Question

我正在上一门离散的数学课程，我遇到了一个问题，我需要你的帮助。我不知道这是否适合这个地方，但是：）

它说：

计算机系统上的每个用户都有一个密码，长度为6到8个字符，每个字符都是大写字母或数字。每个密码必须至少包含一个数字。有多少可能的密码？

本书通过添加具有六个，七个和八个字符长密码的概率来解决这个问题。但是，当他解决六个字符的概率时，他就这样做了

P6 = 366 - 266

并且确实

P7 = 367 - 267

和

P8 = 368 - 268

然后将它们全部添加。

我理解解决方案，但我的问题是为什么不计算，P6 = 10 * 36 ⁵ 和P7和P8相同，有效吗？ 数字为10，字母数字为36？

另外，如果有人能给我另一个解决方案，除了书中的那个。

非常感谢：）

Answer 1

你忘了这个号码可以在任何位置。

Answer 2

  

我理解解决方案，但是我的   问题是为什么不计算，   P6 = 10 * 36 ^ 5，P7和P7相同   P8，工作？ 10为数字，36为   字母数字？

你要保证使用10，支持数字 但是，没有什么可以阻止其他位置的数字（36个选择） 这就是为什么你必须得到所有有数字的梳子并减去所有没有数字的梳子 这导致P6 = 36 ^ 6 - 26 ^ 6

如果我认为如果另一种解决方案我会重新审视这篇文章，但是现在我不明白为什么你不满意所提供的那个，知道为什么你的工作不起作用

Answer 3

如果你这样做36^5 * 10，那就意味着“取前五个位置并在那里放一些随机字母/数字并用数字填充第六个（并且只有第六个）位置” - 但你的数字可以在每个地方。

考虑以下情况：如果你用字母/数字设置5个位置，那么在第六位放一个数字会产生10种可能性（第六个位置可以保存从0到9的每个数字），如果你把数字放在在字母的前面，这将产生另外10种可能性（然后，第一个位置可以包含从0到9的每个数字），所以通过乘以10你会忘记一些可能性。

如果你想以“原始方式”计算它，你可以做以下事情（我在六个地方做，你可以调整到7或8）。由于密码必须至少包含一个数字，因此它可以包含1,2,3,4,5或6位数字，分别为5,4,3,2,1或0个字母。

如果您总共有6个地方有k个数字，则有6 over k种可能选择这些k个地方。这些k个地点中的每一个都可以使用数字填充，因此您可以使用10^k个数字和26^(6-k)字母的可能性。

因此，对于k位数，您有10^k * 26^(6-k)种可能性。因此，由于您可以k方式分发6 over k数字，因此

sum(k from 1 to 5: (6 over k) * 10^k * 26^(6-k)) = 36^6-26^6

总的可能性。