如何获得图像中使用的一维和二维空间滤波器的光谱？

Question

我想知道如何在图像处理中获得空间1维和2维锐化滤波器的光谱。

锐化滤镜是：

[-1, 3, -1];
[-1, -1, -1; -1, 8, -1; -1, -1, -1];

在MATLAB中，我该怎么做才能获得滤波器的频谱，或者如何获得这些滤波器的频率成分？

Answer 1

您可以使用Luis Mendo的帖子立即确定过滤器的频谱。使用freqz表示1D滤镜，或freqz2表示2D滤镜。请注意，使用freqz和freqz2的图表是在[-1,1]之间跨越的归一化频率。

但是，我想写这篇文章来赞美路易斯·门多，并向你展示 光谱的来源。

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让我们从您的第一个过滤器开始：

h1 = [-1,3,-1];

如果您还记得，1D Discrete-Time Fourier Transform (DTFT)定义为：

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旁白：为什么DTFT而不是离散傅立叶变换（DFT）？

请特别注意Discrete Fourier Transform (DFT)与不同。它们之间的区别在于DTFT是应用于离散信号的传统傅立叶变换。从连续的角度来看，我们应用常规傅立叶变换，其中频谱在频率方面是连续的。对于离散信号，这里基本上是相同的，但是变换应用于离散信号。输出的频率也是连续的，附加约束是频谱为2*pi周期性的。对于DFT，它本质上是DTFT 在频域中的采样版本。因此，它们之间的核心差异在于频域中，一个是连续的，而另一个是连续对应的采样版本。我们需要对DTFT进行采样的原因是，您可以将光谱实际存储在计算机上，让程序处理光谱（即MATLAB）。

您的问题要求确定频谱是什么，从理论角度来看，我将向您展示DTFT。当我们实际绘制光谱时，无论如何我们实际上采样 DTFT，所以当我们看到光谱时，您将可视化DFT（或多或少！）。 / p>

可以在DSP StackExchange上找到关于它们之间差异的非常好的解释：https://dsp.stackexchange.com/questions/16586/difference-between-discrete-time-fourier-transform-and-discrete-fourier-transfor

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回到你的问题

对于DTFT的定义，h[k]是1D信号，omega是以弧度定义的角频率。因此，您可以将滤波器视为此1D信号，当您在空间域中进行滤波时，它与获取此信号相同，将其转换为频域并与频域中的其他输入信号进行乘法运算。

因此，如果我们认为您的过滤器是对称的，则将值3定义为中心点。因此，您可以将h[k]视为：

h = [-1    3  -1]
      ^    ^   ^
k =   -1   0   1

因此，频域表示仅仅是具有复指数项的滤波器系数的加权和。将h[k]替换为傅里叶变换公式，我们得到：

如果您还记得Euler's formula，我们有：

类似地：

如果我们将两个方程式加在一起，我们可以重新排列并求解cos(x)：

回到我们的1D滤波器的变换，我们可以做一些因子分析：

请注意，域名在[-pi,pi]之间，因为1D傅立叶变换是2*pi对称的。因此，如果要显示光谱，只需使用上面的域绘制并使用我刚刚创建的等式，绘制绝对值，因为光谱的幅度始终为正：

w = linspace(-pi,pi);
h = abs(3 - 2*cos(w));
plot(w,h);
title('Magnitude of 1D spectrum');
axis([-pi, pi, 0, 5]);

linspace生成从-pi到pi的线性增加数组，范围之间有100个点。您可以通过指定手动告诉linspace要生成多少点的第三个参数来覆盖此行为，但如果省略此参数，则默认值为100.

请注意，我已经使y - 轴从0延伸，因此您可以看到曲线从哪里开始并且最多可以达到5，因为这是{{{}的最大值。 1}}。这就是我们得到的：

实际上，上述频谱看起来确实像高通滤波器，并且因为DC频率（h）的幅度为1，所以基本上是在高通滤波结果的基础上添加原始信号因此，＃锐化＆＃34;你的信号。

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你可以对2D情况进行相同的处理，尽管它会涉及更多。在2D情况下，离散时间傅里叶变换被定义为：

我们有两个独立的变量要考虑，我们将有2D空间频率。 w = 0和w1将沿着2D信号的行运行，而k1和w2将沿列运行> 2D信号。

鉴于你的面具：

k2

由于h2 = [-1 -1 -1; -1 8 -1; -1 -1 -1] 的形状是对称的，因此8的值将是位置h2。因此，当我们用上面的等式计算光谱时，我们得到：

我将为您省去简化的麻烦，但是做一些重新排列并使用欧拉的公式，我们得到：

请注意：

我使用上面的属性来简化。对于2D情况，我们将定义meshgrid个坐标，两个维度的(w1,w2) = (0,0)范围均为[-pi,pi]，我们将在surf的曲面图上绘制此坐标。请记住使用过滤器的绝对值来显示幅度：

[w1,w2] = meshgrid(linspace(-pi,pi));
h = abs(8 - 2*cos(w1+w2) - 2*cos(w1) - 2*cos(w2) - 2*cos(w1-w2));
surf(w1,w2,h);
title('2D spectrum of filter');

w1和w2提供在阵列的每个相应空间位置水平和垂直定义的频率的唯一组合。 w1和w2实际上是二维的。对于w1和w2的每个唯一组合，我们确定光谱的大小。一旦我们计算了这些，我们就可以将所有这些信息放在一个漂亮的三维表面图中。

我们得到：

请注意，这两个维度都来自[-pi,pi]。如果检查频谱，您将看到DC分量被取消为0，实际上是高通滤波器，而不是锐化滤波器。请参阅下面的说明。

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次要说明

顺便说一句，您的2D滤镜定义不是2D锐化滤镜。它只是一个2D拉普拉斯算子，它是一个边缘检测，因此是一个高通滤波器。它只检测边缘。如果你想要正确地锐化图像，请确保在内核的中心中加1，所以你真正想要的是：

h2 = [-1 -1 -1; -1 9 -1; -1 -1 -1];

偏移量1将确保您保持原始信号不变，但也会在原始信号的顶部添加高通结果，从而锐化您的输入。

Answer 2

要绘制1D FIR滤波器的频率响应，请使用freqz：

h = [-1, 3, -1]; %// FIR impulse response
N = 128; %// number of frequency samples
freqz(h,1,N); %// "1" because the filter is not recursive

频率轴通常标准化为采样频率的一半。

有关更多选项，请参阅documentation of freqz。

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要绘制2D FIR滤波器的频率响应，请使用freqz2：

h = [-1, -1, -1; -1, 8, -1; -1, -1, -1]; %// FIR impulse response (filter mask)
N = 128; %// number of frequency samples
freqz2(h,N,N)

频率轴标准化为采样频率的一半，如1D情况。

有关更多选项，请参阅documentation of freqz2。