Question

我试图证明一个微不足道的引理，这是我在另一个角度发现自己的情况的再创造。

Lemma Sn_neq_n: forall n, S n <> n.

证据看起来很简单：

Proof. unfold not. intros.

现在我的目标状态显示：

n : nat
H : S n = n
===================
 False

很明显S n无法与n统一，所以我应该能够反驳这个假设：

inversion H.

但是我的状态现在显示：

，而不是解决目标

n : nat
H : S n = n
H0 : S n = n
===================
 False

咦？我现在只是在无限循环中。我可以inversion H0我只得到H1等等。

我能够通过归纳证明这个引理：

unfold not. intros. induction n.
Case "n = 0". inversion H.
Case "n > 0". inversion H. apply IHn. apply H1.

但这有点愚蠢，因为可以想象的是统一算法，它允许反思性平等首先有意义，不应该能够S n与n统一。

这里发生了什么？

Answer 1

要了解为什么inversion无法单独解决这一目标，我们需要更详细地了解它的作用。

当你颠倒（共）归纳类型的假设时，粗略地说，Coq所做的就是尽可能多地使用模式匹配提取信息（记住Coq策略是总是在引擎盖下制作证明条款）。因此，当通过反演证明1 <> 0时，Coq将产生一个如下所示的术语：

Definition one_neq_zero (p : 1 = 0) : False := match p in _ = n return match n with | 0 => False | _ => True end with | eq_refl => I (* "I" is the only constructor of the True proposition *) end.

return语句中的match注释对于此工作至关重要。这里发生的事情基本上如下：

我们需要匹配相等证明p才能使用它。

为了能够在证明模式匹配时谈论该等式的右侧，我们必须在匹配中添加一个返回注释。

不幸的是，这个返回注释不能直接提到0。相反，它需要适用于泛型 n，，即使我们知道该元素实际上是0 。这只是因为模式匹配在Coq。
中的工作方式
在返回注释上，我们对Coq发出了一个“技巧”：我们说我们会在我们真正关心的情况下返回False（即n = 0），但是说我们将在其他分支上返回其他内容。

要对match进行类型检查，每个分支必须返回return子句中出现的类型，但在替换变量的实际值之后受in条款约束。

在我们的例子中，只有一个构造函数用于相等类型eq_refl。在这里，我们知道n = 1。在我们的返回类型中用1代替n，我们获得了True，因此我们必须返回True类型的内容，我们这样做。

最后，由于p的右侧为0，Coq了解整个匹配的类型为False，因此整个定义类型检查。

最后一步只能起作用，因为0是构造函数，因此Coq能够简化返回类型的匹配，以实现我们正在返回正确的东西。此在尝试反转S n = n时失败：由于n是变量，因此无法简化整个匹配。

我们可以尝试翻转相等并反转n = S n，以便Coq可以稍微简化返回类型。不幸的是，由于类似的原因，这也不起作用。例如，如果您尝试使用in _ = m return match m with 0 => True | _ => False end对匹配进行注释，则在eq_refl内我们将不得不返回match n with 0 => True | _ => False end类型的内容，而我们无法返回。

最后我要提一下，Coq中的统一算法不能像你提到的那样“消极地”使用，因为理论只定义了可证明的东西，而不是可辩驳。特别是，当我们证明一个否定的命题，如S n <> n时，类型检查器总是测试某些统一问题是否有解决方案，而不是测试他们是否有 no 解决方案。例如，假设n = m是一件非常好的事情，并且不会导致任何矛盾，即使n和m 不是统一的。另请注意，如果nat被声明为 co-inductive 类型，则S n = n 不是一个矛盾的假设，而且两个就是在这种情况下我们无法在n上进行归纳。

颠倒一个明显不真实的假设并不能证明是错误的

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