Question

今天，我来问一个小数学问题的帮助。我提出了一个计算具有任意长度数的方程的程序。 https://bitbucket.org/Dermenslof/bistro 在一个优化问题中，我正在为一个操作集成一个乘法算法，其中两个操作数超过10,000个数字。这个算法是toom-cook第3部分。这是原则：我们想进行以下操作：123 456 789 * 987 654 321 我们将这两个数字分为三个部分：

-------------------           ------------------
| 123 | 456 | 789 |           | x2  | x1  | x0 |
-------------------     =     ------------------
| 987 | 654 | 321 |           | y2  | y1  | y0 |
-------------------           ------------------

我们被告知：

the result P(X) = A(X) * B(X)

A(X) = x2 * X² + x1 * X + x0
B(X) = y2 * X² + y1 * X + y0

P(X) = p4 * X⁴ + p3 * X³ + p2 * X² + p1 * X¹ + p0

从这一点我们可以获得：

X = -2   A = 369      B = 2961      A * B = AB(2)   = 1092609      = (4 * x2 + 2 * x1 + x0) * (4 * y2 + 2 * y1 + y0)
X = -1   A = 456      B = 654       A * B = AB(-1)  = 298224       = (x2 - x1 + x0) * (y2 - y1 + y0)
X = 0    A = 789      B = 321       A * B = AB(0)   = 253269       = x0 * y0 (gives us directly p0)
X = 1    A = 1368     B = 1962      A * B = AB(1)   = 2684016      = (x2 + 2 * x1 + x0) * (y2 + 2 * y2 + y0)
X = 2    A = 2193     B = 5577      A * B = AB(2)   = 12230361     = (4 * x2 + 2 * x1 + x0) * (4 * y2 + 2 * y1 + y0)
X = inf  A = 123      B = 987       B * B = AB(inf) = 121401       = x2 * y2 (gives us directly p4)

我们推断：

AB(-2) = 16 * p4 - 8 * p3 + 4 * p2 + 2 * p1 + p0
AB(-1) = p4 - p3 + p2 - p1 + p0
AB(0)  = p0
AB(1)  = p4 + p3 + p2 + p1 + p0
AB(2)  = 16 * p4 + 8 * p3 + 4 * p2 + 2 * p1 + p0

我们现在必须隔离p3，p2和p1

p3 = (2 * AB(-1) + AB(2) - 18p4 - 6p2 - 3p0) / 6
p2 = (AB(1-) + AB(1) - 2 * p4 - 2 * p0) / 2
p1 = AB(-1) - p4 - p3 - p2 - p0

我的结果是：

  121 401 000 000 000 000
+ 000 530 514 000 000 000
+ 000 001 116 450 000 000
+ 000 000 000 662 382 000
+ 000 000 000 000 253 269
-------------------------
  121 932 631 112 635 269

一切正常。现在有一些麻烦我的事情是这样的：

p3 = (2 * AB(-1) + AB(2) - 18 * p4 - 6 * p2 - 3 * p0) / 6

由于技术原因，发现这些划分的计算速度非常慢。除以2或基数的幂是不成问题的。但将可能非常大的数字除以6是一个巨大的数字。所以你必须找到不同的X值，或者这个多项式的另一种形式，以获得更合适的方程式。

我得到了一些信息，显然下面的等式更合适：（https://stuff.mit.edu/afs/athena/astaff/source/src-9.0/third/gmp/doc/multiplication）

AB(0)            = p0
16 * AB(1/2)     = p4 + 2 * p3 + 4 * p2 + 8 * p1 + 16 * p0
AB(1)            = p4 + p3 + p2 + p1 + p0
AB(2)            = 16 * p4 + 8 * p3 + 4 * p2 + 2 * p1 + p0
AB(inf)          = p4

这是我向你求助的地方，我不能从这些等式中分离出p3，p2和p1 提前感谢那些解决这个问题的人

Answer 1

I cannot from these [equations isolate] p3, p2 and p1
我开始编辑你的问题来修复奇数符号错误（不是唯一的错误;参见 AB（-2）），继续对齐“ p < / em> s“（找到的结果与您所链接的旧GMP文档中的表格非常相似）：

AB(0) = p0 16AB(1/2) = p4 + 2p3 + 4p2 + 8p1 + 16p0 AB(1) = p4 + p3 + p2 + p1 + p0 AB(2) = 16p4 + 8p3 + 4p2 + 2p1 + p0 AB(inf) = p4

“显然，我们可以”减去第一行和最后一行的适当倍数来获得

h = 2p3 + 4p2 + 8p1 u = p3 + p2 + p1 d = 8p3 + 4p2 + 2p1

类似地，10u -h-d gives 6p2，2h-12u+ d 6p1和对称h-12u+2d 6p3。
这仍然需要至少一个除以6（或三个，如果你考虑/ 2“自由”） - 这是我可以收集的，是state of the art截至17年末。

toom-cook part-3 resolution polinomial

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