当仅知道y峰的x值时，将曲线拟合到点

Question

我有一些奇怪的条件我需要适应曲线。我试过在其他地方查找，但我甚至不确定我是否使用了正确的术语。非常感谢任何帮助。

我正在尝试将多项式曲线拟合到一组四个点。其中有三点已知，但第四点有点棘手。我有最大y值的x值，但我不知道最大y值是多少。例如，假设在（0,0），（1,1）和（4,0）处有已知点。最大y值在x = 3处，因此第四个点是（3，ymax）。如何将4阶多项式曲线拟合到这些条件？提前谢谢。

Answer 1

实际上有可能因为你需要x = 3的y值应该是最大的。因此，4次多项式有5个系数待确定，你有以下等式：

y（0）= 0
y（1）= 1
y（4）= 0
dy / dx（3）= 0（x = 3时的一阶导数应为0）
d2y / dx2（3）＆lt; 0（x = 3时的二阶导数应为负）

因此，在x = 3处选择d2y / dx2的任何负值并求解5个线性方程式，你将得到一个4次多项式。请注意，以这种方式获得的x = 3处的y值仅是局部最大值，而不是全局最大值。

Answer 2

从@ fang的答案中填写代数（一点基本微积分，一些代数和一些线性代数）：

y = a+b*x+c*x^2+d*x^3+e*x^4

y(0) = 0 -> a=0

为其余计算设置a=0。

y(1) = 1 -> b+c+d+e = 1
y(4) = 0 -> 4*b+16*c+64*d+256*e=0
dy/dx(3)=0 ->
    b+2*x*c+3*x^2*d+4*x^3*e=0 ->
    b+6*c+27*d+108*e=0
d2y/dx2(3)<0 = 2*c+6*d*x+12*e*x^2 < 0 
             = 2*c+18*d+108*e < 0

为最后一个表达式选择负值V，例如-1：

V <- -1
A <- matrix(c(1, 1, 1,  1,
              4,16,64,256,
              1, 6,27,108,
              0, 2,18,108),
            ncol=4,byrow=TRUE)
b <- c(1,0,0,V)
(p <- solve(A,b))
## [1]  2.6400000 -2.4200000  0.8933333 -0.1133333

x <- seq(-0.5,5,length=101)
m <- model.matrix(~poly(x,degree=4,raw=TRUE))
y <- m %*% c(0,p)

绘制结果：

par(las=1,bty="l")
plot(x,y,type="l")
points(c(0,1,4),c(0,1,0))
abline(v=3,lty=2)

为V选择更大幅度（更负）的值将使解决方案在y = 3时更加尖锐。