“欧米茄”真的在这里做什么？

Question

此证明可以使用单个omega完成：

  a : Z
  b : Z                                                                                               
  H : a > 1
  H0 : b > 1
  H1 : b = 1                                                                                          
  H2 : a mod b = 0
  ============================
   False

为什么？ omega在这里做了什么？由于H0和H1相互矛盾，不应该有可能证明什么吗？此外，这可以在没有omega的情况下得到证明吗？怎么样？

Answer 1

1-在此，omega意识到H0和H1是矛盾的，并使用它们来生成False的证明。通过将H1重写为H0（导致1 > 1）直接显示此内容并不难，然后应用一些显示a > b -> a <> b的引理，结果在1 <> 1中，然后应用于我们的目标，从而产生新的目标1 = 1，可由reflexivity解除。很难描述 omega如何详细工作，因为它背后有一个复杂的算法，可以处理大量类似的目标（粗略地说，{{ 3}}）

2-是的。 H0和H1可用于证明任何内容，包括False。这有时被称为Presburger arithmetic。但请注意，您只能在特定上下文中证明。换句话说，并不是因为你在某些证据上下文中存在矛盾，而是你能够证明其他任何。

Answer 2

你可以通过展示它产生的证明术语来弄清楚任何策略的作用。

Require Import Omega.

Definition how : forall (a : Z), (a > 1)%Z -> (a = 1)%Z -> False.
intros.
omega.
Qed.

Print how.

(* Here are the library functions "how" uses on my machine: *)

Check fast_Zplus_assoc_reverse.
Check fast_Zred_factor0.
Check fast_OMEGA15.
Check fast_Zred_factor5.
Check OMEGA6.
Check Zegal_left.
Check Zgt_left.

你也可以在没有任何花哨的机器的情况下证明这一点：

Locate "_ > _".
Print Z.gt.
Locate "_ ?= _".
Print Z.compare.

Definition this : forall (a : Z), (a > 1)%Z -> (a = 1)%Z -> False.
Proof with (subst; simpl in *; auto).
intros...
unfold Z.gt in * ...
unfold Pos.compare in * ...
inversion H.
Qed.

Print this.

Answer 3

如果您在Coq手册中查找omega，则会看到Bill Pugh's "The Omega Test: a fast and practical integer programming algorithm for dependence analysis"的引用，该引用应该大致解释omega正在做什么。