了解Dijkstra算法的时间复杂度计算

Question

根据我的理解，我使用下面给出的邻接列表计算了Dijkstra算法的时间复杂度为big-O表示法。它没有按照预期出现，这让我逐步理解它。

1. 每个顶点可以连接到（V-1）个顶点，因此每个顶点的相邻边数是V-1。让我们说E代表连接到每个顶点的V-1边。
2. 发现＆amp;在最小堆中更新每个相邻顶点的权重是O（log（V））+ O（1）或O(log(V))。
3. 因此，从上面的步骤1和步骤2，更新顶点的所有相邻顶点的时间复杂度是E *（logV）。或E*logV。
4. 因此，所有V顶点的时间复杂度为V *（E * logV），即O(VElogV)。

但是Dijkstra算法的时间复杂度是O（ElogV）。为什么呢？

Answer 1

Dijkstra的最短路径算法是O(ElogV)，其中：

• V是顶点数
• E是边的总数

您的分析是正确的，但您的符号有不同的含义！你说算法是O(VElogV)其中：

• V是顶点数
• E是附加到单个节点的最大边数。

让我们将您的E重命名为N。因此，一项分析显示O(ElogV)，另一项分析显示O(VNlogV)。两者都是正确的，事实上E = O(VN)。区别在于ElogV是一个更严格的估计。

Answer 2

以我理解的方式添加更详细的解释，以防万一：

• O(对于使用最小堆的每个顶点：线性地对每个边缘：将顶点推到边缘指向)的最小堆
• V =顶点数
• O(V * (从最小堆+中弹出顶点，找到边缘*中未访问的顶点，将它们推到最小堆))
• E =每个顶点上的边数
• O(V * (从最小堆+ E *弹出顶点，将未访问的顶点推到最小堆))。请注意，我们可以在这里多次访问同一节点，然后才能“访问”它。
• O(V * (log(堆大小) + E * log(堆大小)))
• O(V * ((E + 1) * log(堆大小)))
• O(V * (E * log(堆大小)))
• E = V，因为每个顶点都可以引用所有其他顶点
• O(V * (V * log(堆大小)))
• O(V^2 * log(堆大小))
• 堆大小为V^2，因为每次我们想要更新距离时都将其推入，并且每个顶点最多可以有V个比较。例如。对于最后一个顶点，第一个顶点的距离为10，第二个顶点的距离为9，第三个顶点的距离为8，依此类推，因此，我们每次推动更新
• O(V^2 * log(V^2))
• O(V^2 * 2 * log(V))
• O(V^2 * log(V))
• V^2也是边的总数，因此，如果让E = V^2（如官方命名那样），我们将得到O(E * log(V))

Answer 3

让n为顶点数，m为边数。

由于使用Dijkstra的算法，您拥有O（n）删除分钟 s和O（m） decrease_key s，每个花费O（logn），总运行时间使用二进制堆将是O（log（n）（m + n））。完全有可能使用Fibonacci堆将 decrease_key 的成本摊销到O（1），从而导致总运行时间为O（nlogn + m），但实际上，由于常数FH的因子惩罚很大，在随机图上， decrease_key s的数量远低于其各自的上限（在O（n * log（m / n）的范围内更大）在其中m = O（n））的稀疏图上效果更好。因此，请始终注意一个事实，即总运行时间取决于您的数据结构和输入类。

Answer 4

在密集（或完整）图中，function stringReverse(string) { return string .split("") .reverse() .join(""); } function login() { var username = document.getElementById("username").value; var password = document.getElementById("password").value; var reverseInput = stringReverse(username); if (password === reverseInput) { alert("Authorized"); } else { alert("Unauthorized"); } }

使用链接数据和二进制堆并不总是最好的。

在这种情况下，我更喜欢仅使用矩阵数据并逐行保存最小长度。

只需<form> <label>Username: </label> <input id="username" type="text" placeholder="Username" /> <label>Password: </label> <input id="password" type="text" placeholder="Password" /> <button type="button" onclick="login()">Login</button> </form>时间。

如果是E logV > V^2。

或者，每个顶点的最大边缘小于某个常数V^2。

然后使用二进制堆。

Answer 5

让我们尝试分析CLRS本书中给出的算法。

对于第7行中的每个循环：对于任何顶点，如果说'u'，则循环运行的次数等于'u'的相邻顶点的数目。 节点的相邻顶点数始终小于或等于图中的边总数。

如果我们取V（由于第4行中的while循环）和E（由于第7行中的每个循环）并将其复杂度计算为V E log（V），则等价于假设每个顶点上都有E边入射，但是实际上每个顶点上最多有或少于E边入射。 （单个顶点情况下最多E个相邻顶点发生在内部顶点为星图的情况下）

Answer 6

V：顶点数， E：总边数 假设图是稠密的 复杂度为 O(V*logV) + O( (1+2+...+V)*logV)

1+2+....+(V-1) = (v)*(v+1)/2 ~ V^2 ~ E 因为图是稠密的 所以复杂度是 O(ElogV)。

总和 1+2+...+ V 指的是：对于 G.adj[u] 中但不在 S 中的每个顶点 v 如果你在提取顶点之前考虑 Q 有 V 个顶点，那么它有 V-1 然后是 V-2 ...然后1。