Question

我想计算log（exp（A1）+ exp（A2））下面的公式

 log(exp(A1) + exp(A2) ) = log[exp(A1)(1 + exp(A2)/exp(A1))] = A1 + log(1+exp(A2-A1))

当A1和A2较大且数值为exp（A1）= Inf（或exp（A2）= Inf）时，

是有用的。（此公式在此主题中讨论 - ＆gt; How to calculate log(sum of terms) from its component log-terms）。当A1和A2的角色被替换时，该公式为真。

我对这个公式的关注是A1和A2非常小。例如，当A1和A2为：

时

 A1 <- -40000
 A2 <- -45000

然后log（exp（A1）+ exp（A2））的直接计算是：

 log(exp(A1) + exp(A2))
 [1] -Inf

使用上面的公式给出：

 A1 + log(1 + exp(A2-A1))
 [1] -40000

这是A1的值。将上面的公式与A1和A2的翻转角色一起给出：

A2 + log(1 + exp(A1-A2))
[1] Inf

三个值中哪一个最接近log的真值（exp（A1）+ exp（A2））？是否存在计算log（exp（A1）+ exp（A2））的稳健方法，当A1，A2较小且A1，A2较大时，可以使用该方法。

提前谢谢

Answer 1

您应该使用更准确的东西来进行直接计算。

当[他们]很大时，它并不“有用”。当差异非常消极时，这很有用。

当x接近0时，log(1+x)约为x。因此，如果A1>A2，我们可以采用您的第一个公式：

log(exp(A1) + exp(A2)) = A1 + log(1+exp(A2-A1))

并按A1 + exp(A2-A1)逼近（并且近似值会变得更好，因为A2-A1更负面）。自A2-A1=-5000以来，这足以使近似值足够。

无论如何，如果y离零点太远（无论哪种方式），exp(y)会（超过|）流动一个double并导致0或无穷大（这是一个双重的，对吗？什么语言你正在用吗？）。这解释了你的答案。但由于exp(A2-A1)=exp(-5000)接近于零，因此您的答案约为-40000+exp(-5000)，与-40000无法区分，因此一个是正确的。

Answer 2

在如此巨大的指数差异中，你可以做到最安全，没有任意精度

选择了最大的指数，让它为Am = max(A1,A2)
所以：log(exp(A1)+exp(A2)) -> log(exp(Am)) = Am
这是你能得到的最接近这种情况的
因此，在您的示例中，结果为-40000+delta
其中delta是非常小的

如果您想使用第二个公式，那么所有分解为计算log(1+exp(A))

如果A为正，那么结果远非真实的
如果A为否定则会截断为log(1)=0，以便您获得与上面相同的结果

<强> [注释]

您的指数差异为base^500
单精度32位浮点数可以存储最多(+/-)2^(+/-128)
双精度64位浮点数可以存储最多(+/-)2^(+/-1024)
所以当你的基数是10或e时，这远远不够你所需要的
如果你有四倍的精度应该足够但是当你再次开始改变exp差异时你会很快达到现在的相同点

[PS]如果你需要更高的精度而没有任意精度

您可以尝试创建自己的数字类
内部存储数字number=a^b
其中a，b是花车
但为此您需要编写所有基本功能
*,/很容易
+,-是一场噩梦，但即便如此，也可能会有一些方法/算法

计算日志（exp（条款）的总和）当＆＃34;术语＆＃34;非常小

2 个答案: