Question

如果在坐标系中给出100个点，我必须找到这些顶点中是否存在直角三角形。有没有办法可以检测这些顶点中的直角三角形，而不必选择所有3个顶点对，然后在它们上应用毕达哥拉斯定理？可以有更好的算法吗？谢谢你的帮助。：）

Answer 1

此处 O（n ^ 2 log n）-time 算法仅适用于二维。我将描述更高维度的问题。

设S为具有整数坐标的点集。对于S中的每个点o，构造一组非零向量V（o）= {p - o | p在S - {o}}中测试V（o）是否在线性时间内包含两个正交向量，如下所示。

方法1：将每个向量（x，y）设置为（x / gcd（x，y），y / gcd（x，y）），其中| gcd（x，y）|是除x和y之间的最大整数，如果y为负，则gcd（x，y）为负，如果y为正，则为正，| x |如果y为零。（这非常类似于将一个分数置于最低项中。）关于两个维度的关键事实是，对于每个非零向量，恰好存在与该向量正交的一个规范向量，具体地，（ - y，x）的经典化。将V（o）中每个向量的标准化插入到集合数据结构中，然后，对于V（o）中的每个向量，在该数据结构中查找其规范的正交配对。我假设gcd和/或设置操作需要时间O（log n）。

方法2：在向量上定义比较器，如下所示。给定向量(a, b), (c, d)，当且仅当

时写(a, b) < (c, d)

s1 s2 (a d - b c) < 0,

，其中

s1 = -1 if b < 0 or (b == 0 and a < 0)
      1 otherwise
s2 = -1 if d < 0 or (d == 0 and c < 0)
      1 otherwise.

使用此比较器对矢量进行排序。（这与将a/b与c/d进行比较非常相似。）对于V（o）中的每个向量（x，y），二进制搜索其正交配对（-y，x）。 / p>

在三维中，沿z轴与单位向量正交的向量集是整个x-y平面，相等的经典化无法将该平面中的所有向量映射到一个正交配对。

C程序检测直角三角形

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