用于检测有向图中的循环的最佳算法

Question

检测有向图中所有周期的最有效算法是什么？

我有一个有向图，表示需要执行的作业计划，作业是节点，依赖是边缘。我需要检测此图中循环的错误情况，从而导致循环依赖。

Answer 1

Tarjan's strongly connected components algorithm的时间复杂度为O(|E| + |V|)。

有关其他算法，请参阅维基百科上的Strongly connected components。

Answer 2

鉴于这是一份工作计划，我怀疑在某些时候你会将它们排序成为一个建议的执行顺序。

如果是这种情况，那么topological sort实现可以在任何情况下检测周期。 UNIX tsort当然可以。因此，我认为在tsorting的同时检测周期更有效，而不是单独一步。

所以问题可能变成“我怎样才能最有效地”，而不是“我如何最有效地检测循环”。答案可能是“使用库”，但未通过以下维基百科文章：

  

http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_sorting

具有一个算法的伪代码，以及来自Tarjan的另一个算法的简要描述。两者都有O(|V| + |E|)时间复杂度。

Answer 3

从DFS开始：当且仅当在DFS 期间发现后沿时，才存在循环。这被证明是白路理论的结果。

Answer 4

最简单的方法是执行图形的深度优先遍历（DFT）。

如果图表有n个顶点，则这是O(n)时间复杂度算法。由于您可能必须从每个顶点开始执行DFT，因此总复杂度变为O(n^2)。

您必须维护一个堆栈，其中包含当前深度优先遍历中的所有顶点，其第一个元素是根节点。如果你遇到一个在DFT期间已经在堆栈中的元素，那么你有一个循环。

Answer 5

在我看来，在有向图中检测周期最容易理解的算法是图着色算法。

基本上，图形着色算法以DFS方式遍历图形（深度优先搜索，这意味着它在探索另一条路径之前完全探索了一条路径）。当它找到后边缘时，它会将图形标记为包含循环。

有关图形着色算法的深入解释，请阅读以下文章：http://www.geeksforgeeks.org/detect-cycle-direct-graph-using-colors/

另外，我在JavaScript https://github.com/dexcodeinc/graph_algorithm.js/blob/master/graph_algorithm.js

中提供了图着色的实现

Answer 6

如果无法向节点添加“visited”属性，请使用set（或map），只需将所有访问过的节点添加到集合中，除非它们已经在集合中。使用唯一键或对象的地址作为“键”。

这也为您提供了有关循环依赖的“根”节点的信息，当用户必须解决问题时，它将派上用场。

另一个解决方案是尝试查找要执行的下一个依赖项。为此，您必须有一些堆栈，您可以记住您现在的位置以及下一步需要做的事情。在执行之前检查该堆栈上是否已存在依赖项。如果是，你就找到了一个循环。

虽然这似乎具有O（N * M）的复杂性，但您必须记住堆栈的深度非常有限（因此N很小）并且M变小，每个依赖关系都可以检查为“执行“加上你可以在找到一片叶子时停止搜索（所以你从不必须检查每个节点 - ＆gt; M也会很小）。

在MetaMake中，我将图形创建为列表列表，然后在执行时删除每个节点，这自然会减少搜索量。我从来没有必要进行独立检查，这一切都是在正常执行期间自动发生的。

如果您需要“仅测试”模式，只需添加一个“干运行”标志，该标志禁用实际作业的执行。

Answer 7

没有算法可以在多项式时间内找到有向图中的所有周期。假设有向图有n个节点，每对节点都有相互连接，这意味着你有一个完整的图。因此，这n个节点的任何非空子集指示一个周期，并且存在2 ^ n-1个这样的子集。因此不存在多项式时间算法。     因此，假设您有一个有效的（非愚蠢的）算法，可以告诉您图中的定向循环数，您可以先找到强连接组件，然后在这些连接的组件上应用算法。由于循环仅存在于组件中而不存在于它们之间。

Answer 8

如果DFS找到指向已访问过的顶点的边，那么你就有一个循环。

Answer 9

我这样做的方法是进行拓扑排序，计算所访问的顶点数。如果该数字小于DAG中的顶点总数，则表示您有一个循环。

Answer 10

我在sml中实现了这个问题（命令式编程）。这是大纲。找到具有0的indegree或outdegree的所有节点。这样的节点不能是循环的一部分（因此删除它们）。接下来，从这些节点中删除所有传入或传出边缘。 递归地将此过程应用于结果图。如果最后你没有留下任何节点或边缘，那么图表没有任何周期，否则就有。

Answer 11

根据Cormen et al., Introduction to Algorithms的引理22.11（CLRS）：

  

有向图G仅在深度优先搜索G不产生后边缘时才是非循环的。

已经在几个答案中提到了这一点；在这里，我还将基于CLRS的第22章提供一个代码示例。示例图如下所示。

CLRS的深度优先搜索伪代码为：

在CLRS图22.4中的示例中，该图由两个DFS树组成：一个由节点 u ， v ， x ，和 y ，以及另一个节点 w 和 z 。每棵树都包含一个后缘：一个从 x 到 v ，另一个从 z 到 z （循环）。

关键实现是，在DFS-VISIT函数中，当遍历v的邻居u时，遇到节点遇到{{1 }}颜色。

以下Python代码是CLRS伪代码的改编，其中添加了GRAY子句，该子句可检测周期：

if

请注意，在此示例中，未捕获CLRS伪代码中的import collections class Graph(object): def __init__(self, edges): self.edges = edges self.adj = Graph._build_adjacency_list(edges) @staticmethod def _build_adjacency_list(edges): adj = collections.defaultdict(list) for edge in edges: adj[edge[0]].append(edge[1]) return adj def dfs(G): discovered = set() finished = set() for u in G.adj: if u not in discovered and u not in finished: discovered, finished = dfs_visit(G, u, discovered, finished) def dfs_visit(G, u, discovered, finished): discovered.add(u) for v in G.adj[u]: # Detect cycles if v in discovered: print(f"Cycle detected: found a back edge from {u} to {v}.") # Recurse into DFS tree if v not in discovered and v not in finished: dfs_visit(G, v, discovered, finished) discovered.remove(u) finished.add(u) return discovered, finished if __name__ == "__main__": G = Graph([ ('u', 'v'), ('u', 'x'), ('v', 'y'), ('w', 'y'), ('w', 'z'), ('x', 'v'), ('y', 'x'), ('z', 'z')]) dfs(G) ，因为我们只对检测周期感兴趣。还有一些样板代码可用于从边列表构建图的邻接列表表示。

执行此脚本时，它将输出以下输出：

time

这些恰好是CLRS图22.4中示例的后边缘。

Answer 12

https://mathoverflow.net/questions/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length我最喜欢这个解决方案，特别是4长度：）

另外，物理向导说你必须做O（V ^ 2）。我相信我们只需要O（V）/ O（V + E）。 如果图形已连接，则DFS将访问所有节点。如果图形已经连接了子图形，那么每次我们在该子图形的顶点上运行DFS时，我们将找到连接的顶点，并且不必在下一次运行DFS时考虑这些。因此，为每个顶点运行的可能性是不正确的。

Answer 13

正如你所说，你有一组工作，需要按一定的顺序执行。 Topological sort为您提供了调度作业所需的订单（如果是direct acyclic graph，则为依赖问题）。运行dfs并维护一个列表，然后开始在列表的开头添加节点，如果遇到已访问过的节点。然后你在给定的图中找到了一个循环。

Answer 14

如果图表满足此属性

|e| > |v| - 1

然后图表至少包含循环。