x（x-1）/ 2 = c的快整数解

Question

给定一个非负整数c，我需要一个有效的算法来找到最大的整数x，这样

x*(x-1)/2 <= c

同样，我需要一种高效且可靠的精确算法来计算：

x = floor((1 + sqrt(1 + 8*c))/2)        (1)

为了定义，我标记了这个问题C ++，所以答案应该是用该语言编写的函数。您可以假设c是无符号的32位int。

此外，如果您可以证明（1）（或涉及浮点运算的等效表达式）总是给出正确的结果，那也是一个有效的答案，因为现代处理器上的浮点数可能比整数算法更快。

Answer 1

如果您愿意假设IEEE为所有操作（包括平方根）进行正确的舍入，那么您编写的表达式（加上强制转换为double）会在所有输入上给出正确答案。

这是一个非正式的证明。由于c是一个32位无符号整数，转换为具有53位有效位数的浮点类型，因此1 + 8*(double)c是精确的，sqrt(1 + 8*(double)c)是正确舍入的。 1 + sqrt(1 + 8*(double)c)精确到一个ulp，因为最后一个术语小于2**((32 + 3)/2) = 2**17.5意味着后一个术语最后一个单位的单位小于1，因此{{1}由于(1 + sqrt(1 + 8*(double)c))/2的除法是准确的，因此精确到一个ulp内。

最后一项业务是发言。这里的问题是将2四舍五入为整数。当且仅当(1 + sqrt(1 + 8*(double)c))/2向上舍入到奇数时才会发生这种情况。由于sqrt(...)的参数是一个整数，对于正奇数整数sqrt，最坏的情况看起来像sqrt(z**2 - 1)，我们绑定

z

通过泰勒扩张来实现。由于z - sqrt(z**2 - 1) = z * (1 - sqrt(1 - 1/z**2)) >= 1/(2*z) 小于z，因此在幅度小于2**17.5的情况下，与最接近的整数之间的差距至少为1/2**18.5，这意味着此错误不会来自正确舍入2**17.5。

采用Yakk的简化，我们可以写

sqrt

没有进一步检查。

Answer 2

如果我们从二次公式开始，我们会快速达到sqrt(1/4 + 2c)，向上舍入为1/2或更高。

现在，如果以浮点进行计算，可能会出现不准确之处。

有两种方法可以解决这些不准确之处。首先要仔细确定它们的大小，确定计算值是否足够接近一半才能使它们变得重要。如果它们不重要，只需返回值即可。如果它们是，我们仍然可以将答案限定为两个值之一。在整数数学中测试这两个值，然后返回。

但是，我们可以取消这一小心点，并注意sqrt(1/4 + 2c)如果值为32位，则误差小于0.5，我们使用double秒。 （我们无法使用float来保证这一点，因为2^31 float无法在不舍入的情况下处理+0.5。

在本质上，我们使用二次公式将其减少为两种可能性，然后测试这两种可能性。

uint64_t eval(uint64_t x) {
  return x*(x-1)/2;
}
unsigned solve(unsigned c) {
  double test = sqrt( 0.25 + 2.*c );
  if ( eval(test+1.) <= c )
    return test+1.
  ASSERT( eval(test) <= c );
  return test;
}

请注意，将正double转换为整数类型会向0舍入。如果需要，可以插入floor。

Answer 3

这可能与您的问题有点相关。但是，引起我注意的是具体的公式。您正在尝试找到T _{n - 1} 的三角形根（其中T _n 是 n 三角形数字）。

I.e。：

  

T _n = n *（n + 1）/ 2

     

和

     

T _n - n = T _{n - 1} = n *（n - 1）/ 2

从描述here的漂亮技巧中，对于T _n ，我们有：

  

n = int（sqrt（2 * c））

在这种情况下寻找n使得T _{n - 1} ≤c不会改变n的定义，原因与原始问题中的原因相同。

计算上，这节省了一些操作，因此理论上 比精确解决方案（1）更快。实际上，它可能大致相同。

这个解决方案或大卫提出的解决方案都不如你的（1）那样“精确”。

  

     

floor（（1 + sqrt（1 + 8 * c））/ 2）（蓝色）vs int（sqrt（2 * c））（红色）vs Exact（白线） < / p>

---

  

     

floor（（1 + sqrt（1 + 8 * c））/ 2）（蓝色）vs int（sqrt（0.25 + 2 * c）+ 0.5（红色）vs Exact（白线）

我的真实观点是，三角形数字是一组有趣的数字，与正方形，pascal三角形，Fibonacci数等相关联。人。

因此，它们周围有loads of identities，可用于以不需要平方根的方式重新排列问题。

特别感兴趣的是T _n + T _{n - 1} = n ²

我假设你知道你正在使用三角形数字，但是如果你没有意识到这一点，那么搜索三角形根会产生一些问题，例如this one这些问题都在同一个主题上。