我试图证明：
(forall x, a -> b) /\ (exists x, a) -> (exists x, b)。
我知道如何在给出更宽容的公理和推导规则的情况下证明这一点，但我所拥有的是有点限制。
我可用的推理规则包括modus-ponens：
a, a->b |- b
和概括：
a(x) |- forall(x, a(x))
还包括标准替换规则。
我的公理：
1）句子逻辑中的任何重言式，有3个或更少的布尔变量
（假设布尔运算的标准定义：〜，/ \，V， - ＆gt;，＆lt; - ＆gt;）。
2）(forall x, a(x)) -> a(t)（其中t对于a中的x是'可替代'）
3）forall(x, a -> b) -> ((forall x, a) -> (forall x, b))
4）a -> (forall x, a)（如果x在a中不是空闲的）
5）forall(x, a) <--> ~exists(x, ~a)
我已经推导出的一些当前定理可能会有所帮助：
(forall x, a /\ b) <--> (forall x, a) /\ (forall x, b)
(forall x, a) -> (exists x, b)
我的推导系统无法暂时引入未经证明的假设，正如您在自然演绎系统中所预期的那样。
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似乎我找到了自己的解决方案。对于它的价值，这个问题实际上应该已经发布到https://math.stackexchange.com/，但是已经完成了。对于那些可能很好奇的人来说，这就是解决方案。顺便提一下，这些规则借用了Enderton的逻辑公理＆＃34; A Mathematical Introduction to Logic＆＃34;。然而，公理并不完全相同。
在继续定理之前，我应该介绍一些其他定理和我用这些公理证明的元定理。 （我将在下面的推导中使用这些）。
首先：(a -> b) /\ (b -> c)) -> (a -> c)（假设思维学：重言式）
第二：exists(x, a) -> ~forall(x, ~a)（ExistsDefined。使用规则5得出）
第三：(a->b) -> (~b -> ~a)（矛盾：重言式）
下一篇：alpha, beta |- alpha /\ beta（连词介绍元定理）
元定理可以从下面的重言式结合模态观察中观察到：
(a->(b->(a /\ b)))。
最后：任何重言式，无论有多少变量，都可以使用3个变量作为时间推导出来。但是，证明的长度通常会随着变量的数量而迅速增长（假设NP！= coNP）。我在下面的演绎的第15步中使用了这个事实，我使用了5个变量而不是我的3个限制。
现在这是证据：
~b -> ((a -> b) -> ~ a)（重言式）。forall(x, ~b -> ((a -> b) -> ~a))（来自第1步）。forall(x, ~b -> ((a -> b) -> ~a)) -> (forall(x, ~b) -> (forall(x, (a -> b) -> ~a)))（规则3）。forall(x, ~b) -> forall(x, (a -> b) -> ~a)（来自步骤2和3的ModusPonens）。forall(x, (a -> b) -> ~a) -> (forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a))（规则3）。(forall(x, ~b) -> forall(x, (a -> b) -> ~a)) /\
(forall(x, (a -> b) -> ~a) -> (forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a))) ->
(forall(x, ~b) -> (forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a)))（来自HypotheticalSyllogism）。(forall(x, ~b) -> forall(x, (a -> b) -> ~a)) /\ (forall(x, (a -> b) -> ~a) ->
(forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a)))（连项介绍步骤4和5）。forall(x, ~b) -> (forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a))（ModusPonens步骤6和7）。(forall(x, ~b) -> (forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a))) -> (~(forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a)) -> ~forall(x, ~b))（Contrapositive）。~(forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a)) -> ~forall(x, ~b)（ModusPonens步骤8和9）。exists(x, b) <-> ~forall(x, ~b)（ExistsDefined）。exists(x, a) <-> ~forall(x, ~a)（ExistsDefined）。(exists(x, a) <-> ~forall(x, ~a)) /\ (exists(x, b) <-> ~forall(x, ~b))（连项介绍步骤11和12）。(~(forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a)) -> ~forall(x, ~b)) /\ (exists(x, a) <-> ~forall(x, ~a)) /\ (exists(x, b) <-> ~ forall(x, ~b))（ConjunctionIntroduction步骤10,13）。(~(a -> b) -> ~c) /\ (e <-> ~b) /\ (d <-> ~c) -> (a /\ e -> d)（Tautology Meta-Theorem）。(~(forall(x, a -> b) -> forall(x, ~a)) -> ~forall(x, ~b)) /\ (exists(x, a) <-> ~forall(x, ~a))
/\ (exists(x, b) <-> ~forall(x, ~b)) -> (forall(x, a -> b) /\ exists(x, a) -> exists(x, b))（来自第15步）。forall(x, a -> b) /\ exists(x, a) -> exists(x, b)（ModusPonens步骤14,16）。