我理解（或者至少我认为我这样做）heapsort。我正在看一本我有算法的书，遇到了这个我无法理解的问题。他们正在使用最大堆：
LARGE 是要排序的数字的较大一半。 I.E. LARGE = {n / 2，n / 2 + 1，... n}
最初，在HeapSort的构建堆阶段之后， LARGE 中有多少项可以位于堆的底层？
最初，在HeapSort的构建堆阶段之后， LARGE 中有多少项可以在堆的顶级（log n）/ 4级内？
设X为 LARGE 中的项目，这些项目最初既不是最低级别也不是最高级别（log n）/ 4级别。 X中至少有多少项？
构建堆后，你不应该堆积吗？哪个会把所有较大的元素移到树上？那么LARGE中的所有元素都不会在底层正确吗？也许他们在构建堆之后和heapify之前讨论，这意味着最多一半的LARGE元素可能在堆的底层？我主要是在寻找对这个问题的任何澄清。
对编辑感到抱歉，我不确定是否允许根据我剩下的问题提出新问题。
答案 0 :(得分：1)
[编辑：好吧，你似乎已经删除了我的答案所回答的部分问题！希望它仍然有用。]
pjs的评论是一个很好的具体例子，可以帮助您入门。为随后的文本墙道歉;或许这是一种分析问题的简单方法，但我不知道！
更一般地说，我们可以通过假设从LARGE中的某些元素处于底层，然后查看它具有什么含义来数学处理。如果这些影响产生矛盾，那么所谓的事情就不可能发生;但如果他们不这样做，那么我们发现的含义可能会为我们提供一种构建实例的方法。 （或者它可能意味着我们看起来并没有足够的矛盾;但在这种情况下，由于pjs的例子，我们已经知道他们不能产生一个。但是，做出假设如果没有立即想到具体的例子，那么寻找矛盾是一个很好的开始。）
因此，让我们假设LARGE中的某个元素x是堆中的一个叶子。这意味着什么？换句话说，这会以什么方式限制堆的其余部分？首先，max-heap中的heap属性告诉我们父节点永远不能小于它的子节点。所以x的父y必须不小于x，而y的父z必须不小于y，依此类推直到根。从x到根的路径上有多少个节点？对于完整的堆（即，对于某些k，n = 2 ^ k-1个节点），将精确地具有log2（n + 1）-1，不包括x本身。 （对于非完整堆，它稍微复杂一些，但是我们不要在此担心。）因此，我们当然可以得出结论x不能是最大的log2（n + 1）之一 - 1个元素，因为如果是的话，就没有足够的其他更大的元素放在祖先的链中直到根。 （事实上，由于堆可以包含重复的元素，因此它（再次）稍微复杂一些。但是上面的内容适用于大量独特元素，考虑到这些因素并不会让人感到痛苦。最初。）
所以，让我们尝试将x（log2（n + 1））个最大的元素作为x，并将所有较大的元素放在其祖先链中。如果log2（n + 1）＆lt; n / 2，然后x将成为LARGE的成员：对于所有n＆gt; = 7，这肯定是正确的。（仅考虑完整堆，这个界限是紧的：对于n = 3，它显然不可能LARGE中的单个元素出现在除根处以外的任何位置。）是否可以继续将其余元素分配给此堆中的位置，直到它完成为止？是的！
图片x的祖先链为/形状的链，其根部位于右上角，x位于左下角，即此链中的每个节点（x本身除外）都具有一个左孩子，但没有正确的孩子。我们需要将剩余的元素插入到来自那些正确的孩子的子树（实际上是子集）中。根的右子需要成为一个包含2 ^（k-1）-1个元素的完整子堆;根的左子的右子需要成为一个包含2 ^（k-2）-1个元素的完整子堆;等等。特别注意这些log2（n + 1）-1个子堆彼此完全独立：它们不以任何方式相互约束。因为没有剩余的元素比/形状的链中的任何元素都大，所以我们不可能通过选择一个大于它的孩子来意外地违反max-heap属性。这条链上的父母，所以我们不必担心这一点。我们可以简单地取剩余元素的任何旧的2 ^（k-1）-1，从它们构建一个堆，并将其作为根的右子项;然后取出任何旧的2 ^（k-2）-1之后剩下的元素，从它们构建一个堆，并将其作为根的左子项的右子项;等等，直到我们在2 ^ k-1个元素上构建完整的堆。
如果至少有7个元素，那么在底部的LARGE构建一个带有一个元素的堆当然是可能的。但是LARGE中有多少元素可以适应那里，同时还能满足max-heap属性？我不会进入太多细节（部分原因是因为我还没有完全认识到自己！）但这里有一些想法：
假设我们想在底行有2 ^ r个LARGE元素。解决这个问题的一种方法是将它们全部留在高度-r子堆中，该子堆总共必须包含2 ^（r + 1）-1个元素，其中2 ^ r-1将是非叶子。 （2 ^ r叶子必须以某种方式排列成具有父母的2 ^（r-1）对，它们本身必须被排列成具有父母的2 ^（r-2）对，依此类推;总结元素数量在所有级别，直到根给出2 ^（r + 1）-1）。
此子堆中的节点当然必须遵守max-heap属性。保证这一点的一种简单方法是对所有2 ^（r + 1）-1个节点进行排序，取其中最小的2 ^ r，并将它们（以任何顺序）分配给叶子;然后取下它们的下一个最小的2 ^（r-1），并将它们（再次以任何顺序）分配给这些叶子的父母;等等。
我们仍然需要注意这个子堆的根需要小于链中的所有祖先，直到n个元素上的原始完整堆的根。它与之前的情况类似，只有一个LARGE叶子，但是我们的子堆的根是高于x的r级别，因此我们只需要log2（n + 1）-r-1祖先（而不是此链中的log2（n + 1）-1）。因此，为了使用这种结构将2 ^ r给定元素放入完整堆的底行，我们需要＆＃34;机器＆＃34;由2 ^ r-1个较大的元素组成，用于填充它们上面的子堆，加上log2（n + 1）-r-1甚至更大的元素，用于链到根，总共2 ^ r + log2 （n + 1）-r-2个较大的元素。由于我们希望尽可能多的这些2 ^ r元素在大型中，因此使用最大可能元素是有意义的：采用总体最大的2 ^ r + log2（n + 1）-r-2元素来用于机器，然后把下一个最大的2 ^ r元素作为叶子。如果r足够小，这些叶子中的全部或部分都将处于较大的范围内。 （注意，对于r = 0，我们恢复原始的单LARGE叶结构。）为了找出LARGE中有多少元素我们可以使用这种技术进入底行，继续增加r直到2 ^中的一个或多个r叶子不再大了;要么在这次迭代中，要么在前一次迭代中LARGE叶子的数量是最大的，因为进一步增加r只会导致在机器上花费更多的LARGE元素。
上面的方式构建一个堆m＆＃34;非常大＆＃34;底部的元素。它可能是也可能不是最佳方式，以尽可能多地在底部安装LARGE元素，如果是这样，这仍有待证明。它可能不是，即使在我们已经做出的各种简化假设（完整堆，不同元素）下，因为我们实际构造了满足更强约束的东西而不是堆所需的（特别是，在具有2 ^ r个元素作为其叶子的子堆中，我们的构造确保每个父级都大于每个叶子，即使这不是必需的一堆）。
事实上，我已经可以想到一个改进。当将2 ^（r + 1）-1个元素排列到子堆中，而不是将2 ^ r最小值分配为叶子时，我们可以通过执行以下操作来隐藏一些较大的叶子：取3个最小的元素，这些叶子中最小的2个，使它们的父母成为第3小。使用第4到第6个最小元素重复此过程以生成另一个3元素堆。现在将第7个最小的元素作为这2个3元素堆的父元素，依此类推。这样做效果更好，因为它将一些（至少2 ^ r / 3）的最小元素走私到子堆中，这意味着更大（和更多）的元素会使它进入2 ^ r元素底行。我怀疑它是最佳的，因为在任何完整的子堆中，最小的和第二小的元素都不能。