Question

我有一个递归关系：

T(n)=4T(n-1) - 3T(n-2)

我该如何解决这个问题？任何详细解释：

我尝试的是我用右边的方法替换了T(n-1)，我得到了这个：

 =16T(n-2)-12T(n-3)-3T(n-2)

但我不知道在何处以及如何结束这一点。

Answer 1

您不仅可以轻松获得此递归的时间复杂度，而且您甚至可以完全解决它。这要归功于线性递归关系背后的详尽理论，你在这里称之为homogeneous linear recurrence的特定情况。

要解决此问题，您需要编写一个特征多项式：t^2 -4t +3并找到它的根t=1和t=3。这意味着您的解决方案的形式如下：

T(n) = c1 + 3^n * c2。

如果您有边界条件，则可以获得c1和c2，但对于您的情况，它足以宣称O(3^n)时间复杂度。

Answer 2

虽然显然是O(4^n)（因为T(n)<=4*T(n-1)），但看起来可以证明一个较小的限制：

T(n) = 4*T(n-1) - 3*T(n-2)

T(n) - T(n-1) = 3*T(n-1) - 3*T(n-2)

D(n) = T(n) - T(n-1)

D(n) = 3*D(n-1)

D(n) = D(0) * 3^n

如果D(0)=0，T(n)=const=O(1)

否则因为差异是指数的，所以得到的函数也将是指数函数：

T(n) = O(3^n)

Answer 3

尝试T（n）= x ^ n给出二次方程：x ^ 2 = 4x - 3.这有x = 1和x = 3的解，所以T（n）的一般形式是a + b * 3 ^ N。 a和b的确切值取决于初始条件（例如，T（0）和T（1）的值）。

根据初始条件，解决方案将是O（1）或O（3 ^ n）。

Answer 4

注意： - 通常，这种递归关系（重复递归函数调用次数，例如 - recurrence relation for a fibonacci sequence for value n）将导致指数时间复杂度。

首先，你的问题不完整。它不提供终止条件（重复终止的条件）。我认为它一定是

对于n = 1，T（n）= 1，对于n = 2，p（n）= 2

基于这个假设，我开始分解上述递归关系

在将T（n）代入T（n-1）后，我得到了这个：

16T(n-2) - 24T(n-3) + 9T(n-4)

这形成了2的幂的多项式

{(4^2)T(n-2) - 2.4.3 T(n-3) + (3^2) T(n-4)}

再次突破上述复发我们得到：

64T(n-3) -144T(n-4) + 108T(n-5) -27T(n-6)

是幂3的多项式

关于打破n-1术语的关系，我们将得到：

(4^n-1) T(1) - .............类似的东西

我们可以清楚地看到，在上面的扩展中，所有剩余的项都将小于4 ^ n-1所以，我们可以采用渐近符号：

O(4^n)

作为练习，您可以扩展多项式以获得更多项，还可以绘制递归树以找出实际发生的事情。