如何从二叉搜索树中随机均匀地返回节点？

Question

给定BST（可能或可能不平衡）如何随机均匀地返回“任意”节点？约束是您不能使用外部索引数据结构。您必须以这样一种方式遍历树，即每个节点都有相同的访问机会。

这个问题困扰了我很长一段时间。如果我们确实可以使用外部哈希表/指针，我们可以随机化它们并返回相应的节点。但是，我的同事提出了一个相当复杂的问题变体，其中不能使用其他数据结构。

• 由于返回树底部附近节点的概率要小得多（概率复合），因此一个简单的随机游走有50％的可能性去L / R不起作用
• 即使是随机生成深度d并且遍历最多d个节点以返回节点（或者如果它是叶子则停止）也不会生成均匀分布。

更新：您不能进行顺序遍历并将结果存储在数组中。

如何实现这样的遍历？

Answer 1

以任何顺序走树，保留以下值：

• N：看到的节点数

• selected：当前选定的节点。

最初，N为0，selected为None。访问节点包括以下内容：

1. 增量N

2. 生成[0, N)范围内的随机整数。

3. 如果选择的随机整数为0，请将selected设置为当前节点。

请注意，在行走期间需要修改值N和selected。这意味着它们都是访问者函数的输入和输出值。

在漫游结束时，N将是树中节点的数量，selected将是以均匀概率选择的随机节点（假设您有一个好的随机数生成器）

此算法不限于BST。它适用于任何形状的任何树。特别是，它将处理一个简单的未知长度的线性序列，对应于众所周知的随机选择算法，该算法将迭代对象，用新概率的随机对象替换所选择的随机对象{{1}其中1/N是迄今为止看到的对象数。

如果您跟踪被访问的节点，它也可以在任何连接的图上工作。

如果您有一个非常大的树（或图形），可能分布在许多服务器和/或存储设备上，您可以使用此算法的不同表示，它提供一定程度的并行性（并且还可以防止需要保持全局遍历结构或将值传递给walk）。

我们假设每个节点服务器都可以直接访问N个对象，并可以间接访问一些已知数量的子服务器。该算法允许冗余的孩子，但假设网络通信（几乎）完美;处理网络分裂超出了本答案的范围。我们还假设每个查询都有一个关联的唯一查询号，这允许我们处理一些网络工件。查询没有其他信息（除了要响应的服务器），并且应该返回由计数和随机选择的节点组成的元组。

当节点服务器收到标识为k的查询时，它会执行以下操作：

1. 如果之前已对查询q做出回复，请立即返回q

2. 将<0, null>设置为count，将k设置为可直接访问的selected个对象中随机选择的对象。

3. 对于每个子服务器，发送查询（具有相同的查询ID）

4. 对于每个回复的回复（回复的顺序并不重要）：

   一个。将k添加到response.count

   湾概率count，将response.count / count替换为selected

5. 当所有子级服务器都已响应时，请返回response.selected

Answer 2

如果知道树中节点数n，则在树的顺序遍历中找到第k个节点，用于在0和n-1之间随机选择的k，包括0和n-1。如果你没有，你可以走树并找出它的大小，然后再做上面的事情。

如果树的节点连续存储在某个数组中，则随机采样数组元素并将其返回。

如果每个树节点都可以告诉你那里生根的子树的大小，找出树中有多少个节点，生成一个随机k到树中的节点数，然后选择树的第k个元素

在上述所有情况下，＆＃34;树＆＃34;部分是红鲱鱼。

在任何非平凡的连通图上都有随机游走，其静态分布是均匀的。选择当前节点的邻居。如果它的程度较低或相同，那就去吧。如果它具有更高的学位，那么以概率cur_deg / that_deg去那里，否则保持不变。这种随机游走的采样在各种情况下被调用＆＃34;吉布斯采样＆＃34;和＃34; Metropolis-Hastings。＆＃34;

Answer 3

如果你有一个完整的（底层是完全满的）二分查找树，那么就可以快速（子线性时间）按你的要求去做，因为你知道树的结构。如果您希望我发布给出此案例解决方案的答案，请告诉我，我会更新我的答案。但是，如果你只有一个任意形状的通用二叉搜索树，那么就不可能在不访问整个树的情况下统一采样节点，这样你就可以知道它的形状了。