Question

我正在寻找一种方法来证明n-ary树的pre-tree遍历算法的运行时间。

每个节点可以有任意数量的子节点。

我似乎只能找到二叉树的证明。

我直观地理解，运行时间将是O（n），但我对如何提出严格的证据感到困惑。

Answer 1

在前序遍历中的节点v处完成的工作是O（1 + c_v），其中c_v是节点v的子节点数。这是因为我们做了一些不变的工作量，然后访问每个孩子一次

在所有节点上对此进行求和得到O（n）加上所有节点上的O（c_v）之和v。该数量为O（n），因为对每个树节点的子节点数求和相等于求和除了root之外的所有节点（你知道为什么吗？）

总的来说，运行时是O（n）。

希望这有帮助！

Answer 2

我只是想尝试自己证明一下，然后找到这篇文章，所以我将分享我所能证明的东西。

证明是针对二叉树的递归DFS（按顺序或前顺序或后顺序），前提是它是完美平衡的。

我的表达方式可能并不完美，但应能给出要点。

首先使用递归关系表示访问所有节点的时间等于访问根的恒定时间c +访问左子树的所有节点T((n-1)/2)的时间+访问正确的子树T((n-1)/2)的所有节点的时间。而且我们知道访问一个节点的树仅需花费恒定的时间T(1)=c。

T(n) = 2T((n-1)/2) + c
T(1) = 1

通过对递归进行几次迭代，我们注意到一个模式，并使用k来显示这种关系。因为我们知道基本情况T(1)=c，所以我们解决了k（绿色）。这从本质上告诉我们需要遍历另一个级别（深度）的次数。将k代入方程式，一切都会很好地抵消，我们得到T(n)=O(n)。