嵌套循环的大O，其中内循环取决于i * n和外循环的i * i

Question

以下嵌套循环的Big-Oh是什么：

sum=0;
for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<i*n;j++)
        sum+=i;

和

sum=0;
for(i=0;i<n;i++)
    for(j=0;j<i*i;j++)
        sum+=i;

我相信它是O（n ^ 2），但我遇到过的都是使用n作为测试的两个循环，所以我不知道O（n ^ 2）是否正确。如果有人可以验证我的理解或解释我为什么错，我会很感激。谢谢！

Answer 1

我会说它们都是O(n^3)，因为在这两种情况下，内循环都是O(n^2)而外循环是O(n)。当然，它们的运行时间远小于n ^ 3次，但是如果你将运行时作为n的函数绘制，当n变大时，你会发现形状看起来更像是立方而不是二次。我的证据是，如果你为第一个展开总和，你会得到：

因为你有n个术语，每个术语都是O(n^2)，所以整个事情都是O(n^3)，尽管这个术语非常小O(n^3)。

对于第二个：

甚至小于第一个，但仍然是O(n^3)。