如何在合并排序lg（n）+1中递归树的高度

Question

我按照stackoveflow的建议阅读了几个问题。我正在按照cormen的书介绍算法，以供我自学。在该书中已经清楚地解释了所有内容，但唯一没有解释的是如何在合并排序分析中计算树的高度。

如果在后面的章节中解释，我仍然在第2章还没有走远。

我想询问最顶层的节点是否被划分2次，依此类推。它给出了ln（n）的高度，即log ₂ （n）如果我将主要问题分成五个子问题，该怎么办？那会是log ₅ （n）吗？请解释这是如何用对数表示的，为什么不用某种线性项呢？

由于

Answer 1

递归树表示递归过程中的自调用。典型的mergsort调用自己两次，每次调用排序输入的一半，因此递归树是一个完整的二叉树。

观察到高度增加的完整二叉树树在其节点数中显示一个模式：

height   new "layer"  total nodes
(h)      of nodes     (N) 
1        1            1          
2        2            3
3        4            7
4        8            15
...

级别L的每个新层都有2 ^ L个节点（其中级别0是根）。所以很容易看出总节点N作为h的函数只是

N = 2^h - 1

现在解决h：

h = log_2 (N + 1)

如果你有一个5向分割和合并，那么树中的每个节点都有5个孩子，而不是2个。该表变为：

height   new "layer"  total nodes
(h)      of nodes     (N) 
1        1            1          
2        5            6
3        25           31
4        125          156
...

这里我们有N =（5 ^ h - 1）/ 4.求解h，

h = log_5 (4N + 1)

一般来说，对于K-way合并，树有N =（K ^ h-1）/（K-1），所以高度由

给出

h = log_K ((K - 1)N + 1) = O(log N)    [the log's base doesn't matter to big-O]

但是，要小心。在K-way mergesort中，选择要合并的每个元素需要Theta（log K）时间。你不能在理论上或在实践中忽略这个成本！