Question

给出N个整数的列表A，我们被问到Q查询。每个查询由整数K表示，为此我们需要返回具有恰好K个元素的所有可能子列表的乘积之和。

我们需要以模块100003打印答案。

示例：设N = 3，数组为{1,2,3}，并且有2个查询。

查询1：K = 1然后答案是6，因为对于K = 1，可能的子列表是{1}，{2}，{3}所以答案是1 + 2 + 3 = 6.

查询2：K = 2然后答案是11，因为对于K = 2，可能的子列表是{1,2}，{2,3}，{3,1}所以答案是（1×2）+（2× 3）+（3×1）= 2 + 6 + 3 = 11。

我的尝试：

#define MOD 100003
unsigned long long ans=0;
unsigned long long mulmod(unsigned long long a,unsigned long long b,unsigned long long c){
unsigned long long x = 0,y=a%c;
while(b > 0){
    if(b%2 == 1){
        x = (x+y)%c;
    }
    y = (y*2)%c;
    b /= 2;
}
return x%c;
}

void KSubset(unsigned long long *a,unsigned long long n,unsigned long long *s,unsigned long long sindex,unsigned long long index,unsigned long long k){

if (index>n)
    return;
if (k==0){
    unsigned long long productt = 1;
    for(int i=0;i<sindex;i++){
        productt=mulmod(productt,s[i],MOD);
    }
    ans=(ans%MOD + productt%MOD)%MOD;
    return ;
    }
s[sindex]=a[index];
KSubset(a,n,s,sindex+1,index+1,k-1);
KSubset(a,n,s,sindex,index+1,k);
}

但是由于查询可以达到N和N可以达到3 * 10 ^ 4.那么有没有更好的方法解决这个问题？

Answer 1

由于{3,1}不是子列表，我将假设您的意思是子集。所有计算都要完成mod 100003;没有问题，因为这里的一切都是代数的。如果展开因式多项式

(1 + 1 x) (1 + 2 x) (1 + 3 x)

其中每个因子对应一个输入值，那么你得到

1 + 6 x + 11 x^2 + 6 x^3,

并且查询q的答案是x ^ q的系数。朴素算法相当于扩展一个广义FOIL method，它需要指数时间。具有二次运行时间的更好的算法是逐个累积因子，具有类似

的循环

for (int i = degree; i > -1; i--) coefficient[i + 1] += coefficient[i] * x;

其中x是下一个值。

Answer 2

如果您有许多查询，那么您可以为数组生成所有子集，
然后根据查询中的k，您可以选择（某些子集）。

ex：a = {1, 2, 3}

所有子集：{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {}

当您使用k = 1查询（对所有大小为1的子集求和）时，
k = 2（在大小为2的子集上应用您的逻辑）。

但如果每个阵列只有1个查询，那么另一种算法可能会更好。

Answer 3

这是一个O（n * log ^ 2 n）解决方案：

1）将其写为多项式（1 + x * a [0]）*（1 + x * a [1]）* ... *（1 + x * a [n - 1]）。现在你需要扩展它以获得每个x度的系数。

2）你可以使用分而治之的方法来计算前半部分和后半部分（递归地）的乘积，而不是天真地乘以它们。现在，您可以使用傅立叶快速变换器快速乘以这两个获得的多项式。

3）T（n）= 2 * T（n / 2）+ n * log n = O（n * log ^ 2 n）。

Answer 4

使用STL，您可以：

std::size_t compute(const std::vector<int>& v, std::size_t k)
{
    std::vector<int> flags(v.size() - k, 0);
    flags.resize(v.size(), 1); // result in {0, .., 0, 1, .., 1} with k numbers 1

    std::size_t sum = 0;
    do {
        std::size_t mul = 1;
        for (std::size_t i = 0; i != v.size(); ++i) {
            if (flags[i]) {
                mul *= v[i];
                mul %= 10003;
            }
        }
        sum += mul;
        sum %= 10003;
    } while (std::next_permutation(flags.begin(), flags.end()));
    return sum;
}

Live example

K子集求和查询

4 个答案: