琐碎的方法

解决这个问题的最简单方法似乎是尝试一切：

def find_max_dist(L):
    max_dist = d(L[0], L[1])
    for i in range(0, len(L)-1):
        for j in range(i+1, len(L):
            max_dist = max(d(L[i], L[j]), max_dist)
    return max_dist

为了使计算更快，我可以使用循环中的平方距离并在最后返回根。

此方法的运行时复杂度为 O(n^2) ，其中n是列表L的长度。（以及恒定的空间复杂度）。

凸壳

显然，不能有任何比O（n）更快的算法，因为必须在列表中的每个元素上至少查看一次。

凸壳的元素之间的最大距离。但很容易证明凸包的计算至少在O(n log n)和Graham's scan似乎是这样做的。但在找到复杂的船体后，我仍然需要获得最大距离。 我最终会以

结束
def find_max_dist_graham_triv(L): H = Graham_scan(L) return find_max_dist(L)

现在，这是我不确定的一点。我认为可以这样改进：

def find_max_dist_graham_c1(L): H = Graham_scan(L) # Get ordered list of convex hull points max_dist = d(L[0], L[1]) for i in range(0, len(L)-1): loop_max_dist = 0 for j in range(i+1, len(L): curr_dist = d(L[i], L[j]) if curr_dist < loop_max_dist: break loop_max_dist = curr_dist max_dist = max(loop_max_dist, max_dist) return max_dist

这个想法是，当你从一个凸包的一个点开始并从它的相邻点开始时，对角线会不断增加，达到最大值然后继续减小。不过，我不确定这是否属实。

直观地说，我会继续改进算法：一旦第一个内循环结束，我们就找到了该循环的“最长对角线”。该对角线将两个分离集中的所有其他船体点分开。每个较长的对角线必须由这两组中的点组成（正确吗？）：

def find_max_dist_graham_c1(L): H = Graham_scan(L) # Get ordered list of convex hull points max_dist = d(L[0], L[1]) # Get a fist idea what the longest distance might be i = 0 p1 = L[i] # Grab a random point loop_max_dist = 0 for j in range(1, len(L): curr_dist = d(L[i], L[j]) if curr_dist < loop_max_dist: break loop_max_dist = curr_dist max_dist = max(loop_max_dist, max_dist) # Every diagonal that is longer than the best one found with L[0] # has to have points in both of the following two sets (correct?): # [1...j] and [j+1...len(L)] # Try to find a neighboring diagonal that is longer. change = True while change: change = False if d(L[i-1], L[j+1]) > max_dist: max_dist = d(L[i-1], L[j+1]) i -= 1 j += 1 change = True elif d(L[i+1], L[j-1]) > max_dist: max_dist = d(L[i+1], L[j-1]) i += 1 j -= 1 change = True return max_dist

凸壳上的每个点P在凸包上都有一个点Q，因此PQ是包括P的最长对角线。但那么P也是Q的最长对角线的“终点”吗？

我真的不确定这个算法是否正确。它将在O（n log n）。

我想这个问题已得到很好的分析，所以有人可以留下一些注意事项吗？

虽然我有很多子问题但主要问题是：

查找点列表中点的最大距离的有效方法是什么？

Answer 1

你应该查看旋转卡尺（http://en.wikipedia.org/wiki/Rotating_calipers） - 它们被广泛用于那种问题。而且，你的假设是错误的。对于凸多边形上的固定点 p ：对角线可以首先增加，然后减小，然后增加，然后再次减小。至少，我遇到过这种情况。

启发式方法：选择 x 点。从中找出最远点 y 。从 y 中找到最远点 z 。 d（z，y）是一个很好的估计。

说明对角线的图像：

enter image description here

1-> 2：增加; 2-> 3减少; 3-> 4增加; 4-> 5减少。这个数字可能不准确，将3和4点指向远离p的点（在同一条线上）。

Answer 2

假设您有均匀分布的点数，您可以执行以下操作：

查找max_x和min_x作为最大和最小X坐标 - （O(n)）。这些值应该可以帮助您选择常量k作为当前点集的“最佳”值。 k的不同值将仅影响算法的复杂性。

考虑一个类似矩阵的新数据结构，它是矢量或链接列表矢量的矢量，我们将其命名为structure，其中structure[i]是相应的矢量/链接列表（如上所述）。按如下方式填充此数据结构：structure[i]应包含其x坐标位于[max_x+ik,max_x+(i+1)k]范围内的点，这将需要另一个O(n)时间和O(n)额外的空间。现在，您按structure[i]坐标对y的每个条目进行排序。完成此操作后，计算以下一组点之间的距离（强力）就足够了：structure[0]，structure[structure.length()-1]，每个其他{{1}的极值（第一个和最后一个索引处） }。

基本上这与进行凸包并开始计算船体上的点的距离几乎相同，不同之处在于选择正确的structure[i]可能会使其更快或更慢。最差的案例复杂度k和最佳案例复杂度O(n^2)。 O(nLg(n))将影响排序更大的点组或者有更多点来计算两者之间距离的交易。

计算列表中两点最大距离的最有效方法是什么？

琐碎的方法

凸壳

2 个答案: