Question

考虑函数
y = 1 /（（1-x ^ 5）（1-x ^ 7）（1-x ^ 11））

WolframAlpha在几秒钟内计算MacLaurin系列扩展的前1000个元素：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=maclaurin+series+1%2F%28%281-x%5E5%29%281-x%5E7%29%281-x%5E11%29%29

出于好奇，我写了一个非常天真的java程序来使用BigInteger对多项式系数做同样的事情。在伪代码中，它将类似于：

BigInt next=1;
BigInt factorial=1;
while(true){
   function=function.differentiate();
   factorial*=++next;
   print("Next coefficient is: " + function(0)/factorial);
}

在计算前七个或大约系数之后，该程序与java.lang.outofmemory异常崩溃，因为分数的分子和分母变成了非常长的多项式。假设我的代码效率低下，但似乎Wolfram使用的技术与第一年的微积分类相同。
问题是：Wolfram使用了什么？

为了比较，Wolfram花费了相当多的时间来计算相同函数的十个导数，而不是获得前1000个多项式项，如果天真地完成，则需要将函数区分1000次。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=tenth+derivative+1%2F%28%281-x%5E5%29%281-x%5E7%29%281-x%5E11%29%29

Answer 1

不确定分数的分子，但我可以看出为什么它的分母增长得太快了：

factorial*=factorial+1;

不是你计算阶乘的方法。那个不仅仅是正方形＆＃34; factorial＆＃34;每次迭代时分母的值！所以你会得到1,2,6,42,1806,3263442 ......相比之下，阶乘法则分别为1,2,6,24,120,720 ...

要逐步计算阶乘，请维护一个循环计数器，并每次将factorial乘以。

Answer 2

tl; dr：x ^N的系数是仅使用5,7和11分割N的方式。

我不确定Wolfram是如何做到的，但是对于这个函数，可以更有效地计算系数（使用你在第一年结束时看到的微积分技术）。作为幂级数，1 /（1-x）=Σ_{k = 0} ^∞ x ^k。但我们可以用x ⁿ替换x，并且该关系仍然有效。这意味着 1 /（（1-x ⁵）（1-x ⁷）（1-x ¹¹））=（Σ_{k = 0 ^∞ X ^5K）（Σ<子> K = 0 ^∞ X ^{7K < / SUP>）（Σ<子> K = 0 ^∞ X ^11K）}}

将这一点乘以将是一种痛苦。但是所有的系数都是1，所以我们只需要看一下加在一起的指数。例如，Wolfram表明x ⁴⁰的系数是4，它来自（x ^5·1）（x ^7·5）（X ^0·11）+（X ^5·0）（X ^7·1）（X ^11·3）+（X ^5·3）（X ^7·2）（X ^11·1）+（X ^{5 ·8}）（X ^7·0）（X ^11·0）。

但是如果我们只需要添加指数，那么我们就不需要关心系数或变量x。最后，x ^N的系数是N可以写成5s，7s和11s之和的方式的数量。这是分区问题的限制版本，但同样的想法仍然适用。特别是，动态编程方法能够计算线性时间和空间中的系数。

Answer 3

理性函数（以及这个特定函数）既不需要区分也不需要因子。计算序列的一种方法是将每个因子扩展为其自身的序列（例如1/(1 - x^5) = sum(n=[0,inf] x^(5n))，然后将结果乘以多项式。

Answer 4

你可以在正式的电力系列上进行每项操作。给定f，g的幂级数，你可以找到f（z）+ g（z），f（z）g（z），f（z）/ g（z），f（g（g）的幂级数的递推关系。 z）），甚至f ^ -1（z）。使用这些方法，您可以计算多项式时间内几乎任何函数的幂级数。

在特殊情况下，有更有效的方法。如果f（z）具有幂级数，则f（z）/（1-z）的幂级数的系数仅仅是f（z）的幂级数的部分和。因此，如果f_n是f的系列，则g（z）= f（z）/（1-z）的系列由g_n = f_n + g_（n-1）给出。

您可以通过任何多项式将其扩展为除法。该算法与多项式的长除法基本相同。例如，让我们计算1 /（1 - z ^ 2）。我们将z ^ 2加上和减去分子得到（1-z ^ 2 + z ^ 2）/（1-z ^ 2）= 1 + z ^ 2 /（1-z ^ 2）。然后我们加上和减去z ^ 4得到（z ^ 2 - z ^ 4 + z ^ 4）/（1 - z ^ 2）= z ^ 2 + z ^ 4 /（1 - z ^ 2）。继续这样你会发现1 /（1 - z ^ 2）= 1 + z ^ 2 + z ^ 4 + z ^ 6等等。

对于度数为n的一般多项式执行此操作时，总是使用小于n个项的分子。您可以将这些术语的系数存储在数组中，并将其用作您的状态。从一个状态，您可以计算幂级数中的下一个项和下一个时间状态O（n）。这为您提供了一个O（nk）时间算法来查找1 / p（z）幂级数中的前k个项。

请注意，在点z = z0处计算幂级数与在z = z0处查找所有导数相同，因此这两个问题是等价的。您可以在符号变量点计算幂级数以找到导数的公式，因此理论上没有理由认为Wolfram在找到第n个导数时要慢得多。

高效生成泰勒（Maclaurin）系列

4 个答案: