TULIP在二维算法中以更简单的形式进行三边测量

Question

我找到了一种在二维this链接中进行三边测量的算法。但公式太复杂了。这里发生了什么？你可以把它分解为点积，跨产品，距离等等吗？

Answer 1

让 P 成为未知点。 （粗体显示2D矢量。）

写出圆圈1和2的隐式方程式：

（ P - P1 ）²=d1²

（ P - P2 ）²=d2²

Substract成员并重新排列：

2.（ P2 - P1 ）。 P =d1² - d2²+ P2 ² - P1 ²

与圈子1和3类似：

2.（ P3 - P1 ）。 P =d1² - d3²+ P3 ² - P1 ²

仔细观察，你会发现这形成了两个未知数的两个线性方程组：

2.（X2 - X1）.X + 2.（Y2 - Y1）.Y =d1² - d2²+ P2 ² - P1 ²

2.（X3 - X1）.X + 2.（Y3 - Y1）.Y =d1² - d3²+ P3 ² - P1 ²

使用 Cramer规则，或者如果您坚持使用矢量微积分，请按照以下步骤进行操作。

将系统重写为：

A.P = a

B.P = b

使用交叉积 A' = A 计算xy平面中与 A 和 B 垂直的向量/ \ 1z 和 B' = B / \ 1z ，并表达 P 作为这些的线性组合：

P = u。 A' + v。的 B'

在简化后，使用 A 和 B 执行点积示：

A.P = a = v。的 A·B'

B.P = b = u。的 B.A'

请注意 A.B' = A。（ B / \ 1z ）= 1z。（ A / \ B ）= - 1z。（ B / \ A ）= - B。（ A / \ 1z ）= - B.A'（混合产品）。

总而言之：

P = [（ - b。 A + a。 B ）/ \ 1z ] / [ 1z。（ A / \ B ）]

（这是对Cramer结果的重写。）