如何求解涉及三对角矩阵的方程组？ MATLAB

Question

我不确定这种典型的行为是否与使用后向差分方法解决有限差分问题有关。

我使用适当的对角线术语（沿着中心对角线以及上面和下面的一个）填充稀疏矩阵，我尝试使用MATLAB的内置方法（B=A\x）来解决问题。看来MATLAB错了。

此外，如果使用inv（）并使用三对角矩阵的逆，我得到正确的解。

为什么这样做？

其他信息：

http://pastebin.com/AbuEW6CR（值是标签，因此更容易阅读） 刚度矩阵K：

1   0   0   0
-0.009  1.018   -0.009  0
0   -0.009  1.018   -0.009
0   0   0   1

d：

的值

0
15.55
15.55
86.73

内置输出：

-1.78595556155136e-05
0.00196073713853244
0.00196073713853244
0.0108149483252210

使用inv（K）输出：

0
15.42
16.19
86.73

手动输出：

0
15.28
16.18
85.16

代码

nx = 21; %number of spatial steps
nt = 501; %number of time steps (varies between 501 and 4001)
p = alpha * dt / dx^2; %arbitrary constant
a = [0 -p*ones(1,nx-2) 0]'; %diagonal below central diagonal
b = (1+2*p)*ones(nx,1); %central diagonal
c = [1 -p*ones(1,nx-2) 1]'; %diagonal above central diagonal
d = zeros(nx, 1); %rhs values
% Variables a,b,c,d are used for the manual tridiagonal method for
% comparison with MATLAB's built-in functions. The variables represent
% diagonals and the rhs of the matrix    
% The equation is K*U(n+1)=U(N)

U = zeros(nx,nt);
% Setting initial conditions
U(:,[1 2]) = (60-32)*5/9;
K = sparse(nx,nx);
% Indices of the sparse matrix which correspond to the diagonal
diagonal = 1:nx+1:nx*nx; 

% Populating diagonals
K(diagonal) =1+2*p;
K(diagonal(2:end)-1) =-p;
K(diagonal(1:end-1)+1) =-p;

% Applying dirichlet condition at final spatial step, the temperature is
% derived from a table for predefined values during the calculation
K(end,end-1:end)=[0 1];

% Applying boundary conditions at first spatial step
K(1,1:2) = [1 0];


% Populating rhs values and applying boundary conditions, d=U(n)
d(ivec) = U(ivec,n);
d(nx) = R; %From table
d(1) = 0;

U(:,n+1) = tdm(a,b,c,d); % Manual solver, gives correct answer

U(:,n+1) = d\K; % Built-in solver, gives wrong answer

Answer 1

以下一行：

U(:,n+1) = d\K;

应该是

U(:,n+1) = K\d;

我错误地认为它们是错误的，并没有注意到它，它显然改变了数学表达式，因此错误的答案。