Question

我正在寻找一种计算多边形交叉/剪裁的非常简单的算法。也就是说，给定多边形P，Q，我希望找到包含在T和P中的多边形Q，我希望{{1在所有可能的多边形中最大化。

我不介意运行时间（我有一些非常小的多边形），我也可以得到一个近似的多边形的交叉点（也就是说，一个点数较少的多边形，但它仍包含在多边形的交集。）

但对我来说，算法很简单（测试更便宜），最好是短（代码少）。

编辑请注意，我希望获得一个代表交叉点的多边形。对于两个多边形是否相交的问题，我不需要一个布尔答案。

Answer 1

我理解原始海报正在寻找一个简单的解决方案，但不幸的是，确实没有简单的解决方案。

尽管如此，我最近创建了一个开源免费软件剪辑库（用Delphi，C ++和C＃编写），它可以剪切各种多边形（包括自相交的多边形）。这个库非常易于使用：http://sourceforge.net/projects/polyclipping/。

Answer 2

您可以使用多边形裁剪算法来查找两个多边形之间的交集。然而，当考虑所有边缘情况时，这些算法往往是复杂的算法。

您可以使用自己喜欢的搜索引擎查找的多边形裁剪的一个实现是 Weiler-Atherton 。 wikipedia article on Weiler-Atherton

Alan Murta完全实现了多边形裁剪器GPC。

编辑：

另一种方法是首先将每个多边形划分为一组三角形，这些三角形更容易处理。 Gary H. Meisters的 Two-Ears Theorem 可以解决问题。这个page at McGill在解释三角形细分方面做得很好。

Answer 3

如果您使用C ++，并且不想自己创建算法，则可以使用Boost.Geometry。它使用了上面提到的Weiler-Atherton算法的改编版本。

Answer 4

您尚未向我们提供多边形的表示。所以我选择（更像是建议）一个给你：）

将每个多边形表示为一个大的凸多边形，以及需要从该大凸多边形“减去”的较小凸多边形的列表。

现在给出了该表示中的两个多边形，您可以将交集计算为：

计算大凸多边形的交点以形成交点的大多边形。然后'减去'两者中所有较小的交点，得到一个减去的多边形列表。

您将获得一个遵循相同表示的新多边形。

由于凸多边形交叉很容易，这个交点发现也应该很容易。

这似乎应该有效，但我没有在正确性/时间/空间复杂性方面给予更深入的思考。

Answer 5

这是一种基于三角测量的方法，该方法非常简单，可以在O（N ²）中运行。

BTW，O（N ²）对于这个问题是最佳的。想象一下两个形状像干草叉叶片的多边形，它们以直角相交。每个都有一些与尖齿数量成比例的部分;交叉点中多边形的数量与尖齿数的平方成正比。

首先，对每个多边形进行三角测量。
将P中的所有三角形与Q中的所有三角形进行比较，以检测交叉点。可以将任何一对交叉三角形分成较小的三角形，每个三角形在P，Q或交叉点中。（无论你在步骤1中使用什么，都可以重复使用来帮助解决这个问题。）只保留交叉点中的三角形。
通过成对比较每个三角形的邻居，并构建邻接图。该图将包含P和Q交叉点中每个多边形的一个连通子图。
对于每个这样的子图，选择一个三角形，走到边缘，然后在边缘处走动，产生限定相应输出多边形的线段。

Answer 6

这是一种简单而愚蠢的方法：在输入时，将多边形离散化为位图。交叉，和位图一起。要生成输出多边形，请使用polygon-approximation algorithm跟踪位图的锯齿状边框并平滑锯齿。（我不记得那个链接是否提供了最合适的算法，它只是第一个谷歌搜索。你可以查看其中一个工具将位图图像转换为矢量表示。也许你可以调用它们而不重新实现算法？）

我认为最复杂的部分是tracing out the borders。

早在90年代初，我在工作中遇到了类似这个问题的问题。我把它搞砸了：我提出了一个（完全不同的）算法，它可以处理实数坐标，但是面对浮点（和嘈杂的输入）的现实，似乎遇到了一个完全无法修复的过多退化情况。也许在互联网的帮助下我会做得更好！

Answer 7

我没有非常简单的解决方案，但以下是真实算法的主要步骤：

为多边形顶点做一个自定义双链表边缘。使用std::list不会，因为你必须交换下一个和以前的指针/偏移你自己的特殊操作节点。这是获得简单代码的唯一方法，这将给出良好的表现。
通过比较每对边来找到交点。注意比较每对边缘将给出O（N²）时间，但改善之后，对O（N·logN）的算法将很容易。对于一些边（比如a→b和c→d），通过使用找到交点边缘a→b上的参数（从0到1），由下式给出 t + = d 0 /（d 0 -d 1），其中d 0是（c-a）×（b-a），d 1是（d-a）×（b-a）。 ×是二维交叉乘积，如p×q =pₓ·qᵧ-pᵧ·qₓ。找到tₐ后，找到交点正在将其用作线性插值段a→b上的参数：P = a +tₐ（b-a）
拆分每个边添加顶点（以及链表中的节点）段相交的地方。
然后你必须交叉交叉点的节点。这是您需要执行自定义双链接的操作名单。你必须交换一对 next 指针（并更新 之前的指针）。

然后你得到了多边形交集解算算法的原始结果。通常，您需要根据每个区域的匝数选择一些区域。搜索多边形缠绕数以获得对此的解释。

如果你想用这个O（N²）算法制作O（N·logN）算法，你必须做同样的事情，除非你在行扫描算法中做。寻找 Bentley Ottman算法。内部算法将是相同的，唯一的区别是你将在循环内部减少要比较的边数。

Answer 8

我处理同样问题的方式

将多边形分成线段
使用IntervalTrees或LineSweepAlgo
使用GrahamScanAlgo查找封闭路径以查找具有相邻顶点的闭合路径
交叉参考3.用DinicAlgo解散它们

注意：鉴于多边形有一个共同的顶点，我的场景是不同的。但希望这可以帮助

Answer 9

如果您不关心可预测的运行时间，则可以尝试先将多边形分成凸多边形的并集，然后成对计算子多边形之间的交点。

这将为您提供凸多边形的集合，以使它们的并集恰好是起始多边形的交集。

Answer 10

如果多边形未对齐，则它们必须对齐。我会通过找到多边形的中心（X 的平均值，Y 的平均值）然后通过矩阵变换增量旋转多边形，将点投影到轴之一并使用最小标准偏差的角度来对齐形状（你也可以使用主成分）。为了找到交点，一个简单的算法是定义一个点网格。对于每个点，维护一个多边形或另一个多边形或两者（联合）内的点数（有简单而快速的算法，例如http://wiki.unity3d.com/index.php?title=PolyContainsPoint）。计算点polygon1 和polygon2，除以polygon1 或Polygon2 中的点数，您就可以粗略（取决于网格采样）估计多边形重叠的比例。交集区域将由与操作对应的点给出。

例如

function get_polygon_intersection($arr, $user_array)
{
    $maxx = -999;  // choose sensible limits for your application
    $maxy = -999;
    $minx = 999;
    $miny = 999;
    $intersection_count = 0;
    $not_intersected = 0;
    $sampling = 20;
    
    // find min, max values of polygon (min/max variables passed as reference)
    get_array_extent($arr, $maxx, $maxy, $minx, $miny);
    get_array_extent($user_array, $maxx, $maxy, $minx, $miny);
    
    $inc_x = $maxx-$minx/$sampling;
    $inc_y = $maxy-$miny/$sampling;
    
    // see if x,y is within poly1 and poly2 and count
    for($i=$minx; $i<=$maxx; $i+= $inc_x)
    {
        for($j=$miny; $j<=$maxy; $j+= $inc_y)
        {
            $in_arr = pt_in_poly_array($arr, $i, $j);
            $in_user_arr = pt_in_poly_array($user_array, $i, $j);
            
            if($in_arr && $in_user_arr)
            {
                $intersection_count++;
            }
            else
            {
                $not_intersected++;
            }
        }
    }
    
    // return score as percentage intersection
    return 100.0 * $intersection_count/($not_intersected+$intersection_count);
}

Answer 11

这可能是一个巨大的近似值，取决于你的多边形，但这里是一个：

计算每个的质心多边形。
计算最小值或最大值或平均值距离每个点的距离多边形到质心。
如果C1C2（其中C1 / 2是第一/第二多边形的中心）＆gt; = D1 + D2（其中D1 / 2是您为第一/第二多边形计算的距离）则两个多边形“相交”。

尽管如此，这应该非常有效，因为对多边形的任何变换都以与质心相同的方式应用，并且中心节点距离只能计算一次。

一种简单的多边形交叉算法

11 个答案: