Question

给定2的数量，通过构建最多给定数量的2的表达式，可以形成多少个唯一值，包括加法或乘法。

例如，如果n = 2，我们可以形成2个不同的值：

2 + 2 = 4
2 * 2 = 4
2     = 2

对于n = 3，我们可以形成4个不同的值（2,4,6和8）：

2 * 2 * 2 = 8
2 * 2 + 2 = 6
2 + 2 * 2 = 6
2 + 2 + 2 = 6
2 * 2     = 4
2 + 2     = 4
2         = 2

我想知道任何n，不同可能值的数量。

我尝试了所有可能的组合并将它们添加到哈希映射中，但随着n的增加，comibnations呈指数级增长，因此蛮力不会起作用。我需要另一种计算方法或广义数学公式。

可以使用动态编程解决，因为我看到许多子问题被重复使用。

Answer 1

到目前为止，其他答案假设我们要计算不同的表达式的数量。这个答案假定我们正在寻找这些表达式可以评估的不同值的数量。

我们假设您的表达大小最多为 n 。然后我们可以将其重写为 2 ^{e [1]} + 2 ^{e [2]} + ... + 2 ^{e [m]} e [i]＆gt; = 1 和 e [1] + e [2] + ... + e [m]＆lt; = n

假设 e [1]＆lt; = e [2]＆lt; = ...＆lt; = e [m] 。如果某些 i 的 e [i] = e [i + 1] ，那么我们可以用单个指数 e [i] +替换两个相等的指数1 ，因为 2 ^{e [i]} + 2 ^{e [i + 1]} = 2 * 2 ^{e [i]} = 2 ^{e [i] + 1} 。由于 e [i] + 1＆lt; = e [i] + e [i + 1] ，新序列产生相同的值，并且仍然满足所有指数之和为小于或等于 n 。

所以我们只需要计算不同指数序列的数量 0＆lt; e [1]＆lt; e [2]＆lt; ......＆lt; E [M] 。很明显，每个代表一个不同的值，因为数字的二进制表示是唯一的（并且不同的指数恰好代表二进制表示）。

我们可以使用动态编程来计算这些序列，例如从最高到最低选择指数。

让我们将 f（n，hi）定义为选择不同指数的不同方式的数量，总和不超过 n ，其中最高指数是＆lt; = hi 。在每一步，我们都可以在 1 和 min（hi，n）之间任意选择下一个最高指数，或者停止选择指数。所以我们有了复发

f(0, hi) = 1 for all hi >= 0 f(n, hi) = 1 + sum(e = 1 to min(hi, n), f(n - e, e - 1))

这导致了一个简单的动态程序来解决问题。答案是f(n,n) - 1。我们需要减去一个，因为我们还计算了不选择任何指数的可能性，这导致总和0。但问题陈述不允许这样做。

以下是一些结果：

f(1,1) - 1 = 1 f(2,2) - 1 = 2 f(3,3) - 1 = 4 f(4,4) - 1 = 6 f(5,5) - 1 = 9 f(6,6) - 1 = 13 f(7,7) - 1 = 18 f(8,8) - 1 = 24 f(9,9) - 1 = 32 f(10,10) - 1 = 42 f(11,11) - 1 = 54 f(12,12) - 1 = 69 f(13,13) - 1 = 87 f(14,14) - 1 = 109

Answer 2

如果没有涉及括号，则：

不是编程问题，而是组合问题。操作数是固定的，您只需选择N-1运算符从2（+，*池中放置它们。有2^(N-1)个方法可以选择操作数。

N=2: 2^(2-1) = 2^1 = 2 (+, *)
N=3: 2^(3-1) = 2^2 = 4 (++, +*, *+, **)

无需编程，只需数学。

编辑：正如Niklas B.所指出的，你自己的例子与你提出的标准不符。上面的公式是“完全N两个”。如果你正在寻找“最多N两个”，被解释为“介于1和N两个之间”（因为我不确定如果你有0个结果会是什么结果），那么它是2^N-1：

N=2: 2^2-1 = 4-1 = 3 (+, *, none)
N=3: 2^3-1 = 8-2 = 7 (++, +*, *+, **, +, *, none)

进一步编辑：如果您正在计算值，那么您确实需要一些编程。最简单的解决方案是使用带有值的哈希映射，并在通过组合强制计算频率。在这种情况下，动态编程会比它的价值更麻烦，因为复杂度是O（N ^ 2），并且您可能不是在尝试计算百万操作数公式，而具有运算符优先级的位将使得不是非常直观的算法。

使用给定数量的2的表达式的唯一值

2 个答案: