给定条件数矩阵（浮点）的解的精度

Question

我有一个问题，我被困住了。如果有人能指出我正确的方向，我将不胜感激。

我在上一次中期考试中表现不佳，问题与此类似，所以我希望除了帮助答案之外能够理解这个概念，这样我才能在期末考试中做得更好。

提前致谢。

Answer 1

线性系统误差分析的标准方法是考虑给定系统代表任何系统

  

（A +ΔA）*（x +Δx）= b +Δb

其中ΔA和Δb具有相对大小μ= 5 * 10 ^-d 的条目，因此

  

|| ||ΔA ~μ* || A ||和||Δb|| ~μ* || b ||。

这个想法是找到的解决方案将代表扰动系统的精确解，并且在给定的范围内存在扰动。

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通过截断几何或Neumann系列的标准操作

  

（A +ΔA）*Δx=Δb-ΔA* x

并忽略所有二阶条款，

  

Δx≃A ^-1 *Δb - A ^-1 *ΔA* x = A ^-1 *Δb - A ^-1 *ΔA* A ^-1 * b

这样

  

|| ||ΔX ≃|| A ^-1 || * ||Δb|| + || A ^-1 || * ||ΔA|| * || x || ≦μ*（|| A ^-1 || * || b || +κ* || x ||）

     

|| ||ΔX ≦2 *μ*κ* || x ||

x，||Δx|| / || x ||的相对误差，它将决定x中有效位的数量，大约或小于2 *μ*κ。根据赋值，它必须小于5 * 10 ^-e 或

  

2 *κ≤10 ^d-e 。

并且具有κ的具体公式，

  

2 *λ* n ^α≤10 ^d-e 。