梯度向量的长度

Question

我需要澄清一件简单的事情。 我需要对数学进行一些更新： 在一个圆圈中，渐变的长度应该是半径？ 或者我们只使用渐变来获得方向？

在我阅读有关图像处理中的渐变后，我得到了这个问题： 我已阅读this回答和this有关如何获取图像渐变的信息，当然还有here。

我不明白幅度是否代表像素数？或者它只代表特定点强度变化的强度。

以下图片是渐变的大小： the magnitude of the gradient:

我运行代码并观察数字的大小，数字显然不在图像宽度\高度的范围内。

我，等待一个简单的澄清。 谢谢！

Answer 1

在数学上说，梯度幅度，或者换句话说，梯度矢量的范数，表示2D信号的导数（即斜率）。这在维基百科给出的定义中非常清楚：

这里，f是2D信号， _x ^{^} ， _y ^{^} （这个是丑陋的，我会注意到它们 u _x 和 u _y 以下）分别是单位向量水平和垂直方向。

在图像的上下文中，2D信号（即图像）是离散的而不是连续的，因此导数近似于当前像素的强度与强度之间的差异。前一个像素，在所考虑的方向上（实际上，有几种方法来逼近导数，但让我们保持简单）。因此，我们可以通过以下数量逼近梯度：

渐变 _f （u，v）= [f（u，v）-f（u-1，v）]。 u _x + [f（u，v）-f（u，v-1）]。的Ú_ý

在这种情况下，梯度幅度如下：

|| 渐变 _f （u，v）|| = square_root {[f（u，v）-f（u-1，v）]²+ [f（u，v）-f（u，v-1）]²}

总结，渐变幅度是给定点局部强度变化的度量并且与半径无关，也与宽度/高度无关图像。