燃料限制的最短路径

Question

我在比赛的某个地方发现了这个问题，但还没有找到解决方案。我正在考虑应用Dijkstra的东西，但不是很清楚：

''您将获得一个城市的加权连通图，其中所有边都具有正权重。一些城市（节点）有汽油泵，而有些城市没有。你有一辆坦克容量为C的自行车。也就是说，有了满箱，汽车可以行驶C单位的距离。在任何有汽油泵的城市，汽车都可以将其油箱装满。找出给定源和给定目标之间的最短路径。假设你从一个满罐开始。''

我有一种感觉O（mn logn）将被它接受。

Answer 1

基本上你需要根据自行车到达时的剩余燃料将每个节点n_i拆分为多个节点，让我们称之为（n_i，r）。你不需要在开头创建所有（n_i，r），你可以在飞行中创建它。

然后类似于Dijkstra，你从节点（n_0，C）开始，每次你可以找到下一个（n_x，r）你可以达到最小距离。并更新连接到（n_x，r）的所有节点（n_y，ry）。如果n_y有泵，ry将被重置为C.如果对于n_y，已经存在节点（n_y，r）和r＆gt; = ry，那么您不需要创建新节点（n_y，ry），只需忽略它。

我不能说运行时的复杂性，但它应该足以让AC参加比赛。

Answer 2

@Tim Green的方法将创建一个指数（加油站数量）节点数。运行Dijkstra的速度非常慢。有一种更快的方式。

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首先，找到所有加油站之间的距离。还包括从源到每个加油站，从每个加油站到终点，从源到终点的距离。这可以通过多次运行Dijkstra's来完成。

这将为您提供从开始到结束的所有可能有效路线的图表。只需在此图表上再次运行Dijktra即可获得最终解决方案。

由于Dijkstra的每次运行都是 O（V ² ） （V =城市数量），你必须运行它 O（G）次（G =加油站数量，一次运行Djikstra可以找到从一个加油站到所有其他加油站的距离），此算法将在< strong> O（V ² G）时间。

Answer 3

对Dijkstra算法进行了修改，加油站顶点之间的距离是根据需要通过Dijkstra算法的另一个修改来计算的，该算法搜索指定范围内的所有未解析的加油站顶点。

1. 作为加油站处理开始和结束。
2. 将开始放入主要优先级队列。
3. 使用sub-Dijkstra运行main-Dijkstra。

main-Dijkstra在循环中执行以下步骤：
0.当主要优先级队列为空时退出＆＃34;完成无法到达＆＃34; 1.从主要优先队列中取出加油站 2.完成后退出。
3.致电sub-Dijkstra，为未解决的邻近加油站提供与实际加油站的距离。

sub-Dijkstra使用自己的优先级队列（直到队列为空）搜索从实际加油站到燃料范围内所有顶点的最短路径，并根据其状态处理到达的加油站：
 *已在main中解决 - 不处理外发边缘  *在主队列中等待 - 更新距离（当低于reduceKey时）和路径
 *否则将其放入主队列