如何为循环找到Big-O表示法？

Question

我无法找到这段代码的Big-O表示法。 我需要找到两个for循环的表示法。

public static int fragment(int n)
{
  int sum = 0;

  for (int i = n; i >= 1; i /= 2)
  {
    for (int j = 1; j <= i; j *= 3)
    {
      sum++;
    }
  }

  return sum;
}

Answer 1

分别考虑两个循环：

首先让我们在每次迭代时考虑for(int i=n; i>=1; i/=2)，将i的值除以2，直到达到小于1的值。因此，迭代次数N将等于i除2之前除以log(n)之前的次数。有一个众所周知的函数代表这个数字 - for(int j=1;j<=i; j*=3)

现在让我们考虑一下内循环。 i。在这里，你将j乘以3直到它变得超过for(int j=i; j>=1; j/=3)。如果您认为这与第一个周期的以下轻微修改将完成相同的迭代次数：O(log(n)^2)。并且具有完全相同的解释，我们具有相同的功能（但具有不同的基础 - 3）。这里的问题是迭代次数取决于i。

所以现在我们的总体复杂性是：

log ₃ （n）+ log ₃ （n / 2）+ log ₃ （n / 4）... + log ₃ （1）=

log ₃ （n）+ log ₃ （n） - log ₃ （2）+ log ₃ （n）.... - log ₃ （2 ^{log ₂ （n）}）=

log ₃ （n）* log ₂ （n） - log ₃ （2） - 2 * log _{3 < / sub>（2） - ... log 2 （n）* log 3 （2）=}

log ₃ （n）* log ₂ （n） - log ₃ （2）*（1 + 2 + ... log ₂ ）=

log ₃ （n）* log ₂ （n） - log ₃ （2）*（log ₂ （n）*（log ₂ （n）+ 1））/ 2 =

log ₂ （n）*（log ₃ （n） - log ₃ （2）*（log _{2 < / sub>（n）+ 1）/ 2）=}

log ₂ （n）*（log ₃ （n） - （log ₃ （n）+ log _{3 < / sub>（2））/ 2）=}

（log ₂ （n）* log ₃ （n））/ 2 - （log ₂ （n）* log ₃ （2））/ 2

计算有点棘手，我使用了一些对数属性。然而，最后的结论是循环具有复杂性{{1}}（记住你可以忽略对数的基数）。

Answer 2

要正式推断时间复杂度，使用sigma表示法是一种合适的方法：

WolframAlpha帮助我完成了闭式公式的总结。

对于对数，您可以查看this document的最后一张幻灯片，其中Jauhar博士解释了对数循环。