算法统治

Question

学习考试并得到这个问题：

Comparing two algorithms with asymptotic complexities O(n) and O(n + log(n)), 
which one of the following is true?

A) O(n + log(n)) dominates O(n)
B) O(n) dominates O(n + log(n))
C) Neither algorithm dominates the other.

O（n）支配log（n）正确吗？那么在这个问题上，我们只从两者中取o（n）并推导出既不支配？

Answer 1

[C]是真的，因为 Big-O <{em>

的the summation property

Summation 
O(f(n)) + O(g(n)) -> O(max(f(n), g(n))) 
For example: O(n^2) + O(n) = O(n^2)

在 Big-O 中，您只关心增长最快的功能而忽略所有其他添加剂。

编辑：最初我把[A]作为答案，我只是没有太多关注所有选项并误解了[A]选项。这是更正式的证明

O(n) ~ O(n + log(n))      <=>
O(n) ~ O(n) + O(log(n))   <=>
O(n) ~ O(n).

Answer 2

是的，这是正确的。如果运行时是几个运行时的总和，按数量级，最大数量级占主导地位。

Answer 3

假设在asymptotic tight bound的意义上使用了大O符号，它应该用大-Theta表示，那么我会回答C），因为Theta(n) = Theta(n + log(n))。 （因为log(n)由n支配。

如果我正式（数学上）正确，那么我会说这些答案都不正确，因为O(n)和O(n+log(n))只给出上界，但不是渐近行为的下界：

允许f(n) in O(n)和g(n) in O(n + log(n))。然后是以下反对的例子：

对于A）：f(n) = n中的O(n)和g(n) = 1中的O(n + log(n))。然后g(n)不支配f(n)。

表示B）：f(n) = 1中的O(n)和g(n) = n中的O(n + log(n))。然后f(n)不支配g(n)。

表示C）：f(n) = 1中的O(n)和g(n) = n中的O(n + log(n))。然后g(n)确实支配f(n)。

因为这将是一个非常棘手的问题，我假设您使用更常见的草率定义，这将给出答案C）。 （但您可能想要检查big-O）的定义。

如果我的回答让你感到困惑，那么你可能没有使用正式的定义，你可能应该忽略我的答案......