构建二叉树的渐近复杂性

Question

从头开始构建大小为n的平衡二叉树的复杂性是多少？

节点插入是O（log n）。

但是，随着时间的推移，累计时间为

O（（log 1）+（log 2）+ ... +（log（n-1））+（log n））。

这是什么“加起来”？

是o（n log（n）），小'o'，我不知道有多远。

Answer 1

log(1) + log(2) + ... + log(n) = log(1*2*..*n) = log(n!)

中的

Theta(nlogn)

因此，从头开始构建一个（平衡的）树具有Theta(nlogn)的紧密渐近界限

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修改 我还想向您展示一个证据，证明您无法使用任何算法构建比O(nlogn)更好的BST。基本上 - 这是因为通过简单地使用“更好”算法构建树，然后 - 在树上进行有序遍历并输出元素，它将允许比O(nlogn)更好地排序。结果将是一个排序数组。 复杂度有序遍历是O(n)，并且由于假设树的构建速度比O(nlogn)快 - 我们与排序Omega(nlogn)有问题的事实相矛盾。