我有一个monic多项式的根，即
p(x) = (x-x_1)*...*(x-x_n)
我需要来自
的系数a_n，...，a_0p(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0.
是否有人知道计算效率这样做的方式？如果有人知道C / C ++实现，这实际上是最好的。 （我已经看过GSL，但它没有提供功能。）
当然，我知道如何以数学方式。我知道，系数a_i是具有n-i元素的子集的所有乘积的总和。但如果我以愚蠢的方式做到这一点，这意味着迭代所有子集，我需要
sum^{n-1}_{k=1} ( k choose n) * (k-1)
乘法和
sum^n_{k=0} ( k choose n) - n
加法。因此，这两个项都以O(n!)增长，这是一个太多的计算，无法将n根列表转换为n系数列表。我相信必须有一些聪明的方法来重用大多数中间结果，但我找不到一个。
答案 0 :(得分：7)
如果逐步构建多项式，则可以非常轻松地在O(n^2)中执行此操作。我们来定义：
p_k(x) = (x-x_1)*...*(x-x_k)
即p_k(x)是k的第一个(x-x_i) p(x)的乘法。我们有：
p_1(x) = x-x_1
换句话说，系数数组（a）将是（索引从0开始，从左开始）：
-x_1 1
现在假设我们有p_k(x)的系数数组：
a_0 a_1 a_2 ... a_k
（旁注：a_k是1）。现在我们想要计算p_k+1(x)，这是（请注意k+1是索引，并且没有总和1）：
p_k+1(x) = p_k(x)*(x-x_k+1)
=> p_k+1(x) = x*p_k(x) - x_k+1*p_k(x)
将其转换为系数数组，意味着新系数是向前移动的（x*p_k(x)）减去k+1根再乘以相同的系数（{{1 }}）：
x_k+1*p_k(x)（旁注：这就是 0 a_0 a_1 a_2 ... a_k-1 a_k
- x_k+1 * (a_0 a_1 a_2 a_3 ... a_k)
-----------------------------------------
-x_k+1*a_0 (a_0-x_k+1*a_1) (a_1-x_k+1*a_2) (a_2-x_k+1*a_3) ... (a_k-x_k+1*a_k-1) a_k
保持1的方式）有你的算法。从a_k（或甚至p_1(x)）开始，并按多项式的每个根的上述公式逐步构建系数数组。