如何在轴上投影多边形

Question

我正在尝试学习分离轴定理。这是因为我正在制作一个简单的2D游戏，我需要这个来检测两个多边形是否相交。

问题是，我吮吸数学。

到目前为止，据我所知，为了知道两个多边形是否相交，我需要做以下几点：

1. Creata与两个多边形的每个边缘垂直的线。
2. 将每个多边形投影到每个创建的新线（轴）。

如果第一个多边形的所有投影重叠第二个多边形的所有投影，则形状相交。否则，形状不相交。

我想我明白了如何做第1步。但我不明白如何执行第2步。

如何将多边形投影到轴上？请用一种我能够理解的语言解释这一点，作为一个具有数学基础知识的人。

（虽然我 在基本级别上学习了一些数学概念，例如点积和向量。所以你可以使用这些术语与我交谈。）

理论上的解释会很棒，但是也欢迎在代码（最好是Java）中实现它的一个例子。

帮助将不胜感激。非常感谢

Answer 1

查看两个向量的标量乘法：

(A ⋅ B) = |A| ⋅ |B| ⋅ cos(a);

• A, B是向量。
• a是A, B之间的角度。

因此，如果您希望将A的大小投射到B = C：

|C| = |A| ⋅ cos(a);
|C| = (A ⋅ B) / |B|;

如果您不知道公式或您不确定符号，那么：

|B| = sqrt((B.x)² + (B.y)² + (B.z)² + ...);
A ⋅ B = (A.x ⋅ B.x) + (A.y ⋅ B.y) + (A.z ⋅ B.z) + ...;

所以现在只需占用所有线条并将它们投影为这样的矢量：

x0 = ((L0 - A0) ⋅ (A1 - A0)) / |(A1 - A0)|;
x1 = x0 + ((L1 - L0) ⋅ (A1 - A0)) / |(A1 - A0)|;

<强> [注释]

如果您将轴向量(A1 - A0)设置为单位... |A| = 1，那么您可以忘记加速/ |(A1 - A0)|的加热{{1}}。