Question

如何将开放形式的重复转换为等效的闭合形式。此外，有些常用的封闭形式是什么通常有效使用。

Answer 1

我认为你在谈论递归函数和数学。

e.g。考虑以下和递归函数

sum(0) = 0
sum(i) = sum(i-1) + i

此表单未关闭。封闭形式为sum(n) = (n+1)*n/2，您只能使用+ - * /，power，有时甚至是factorial等基本操作。

对于您的问题，如何将开放式公式转换为封闭式。答案是没有一般规则将所有开放形式转换为封闭形式，因为某些开放形式没有等效的封闭形式。

您可以参考Concrete Mathematics对此主题进行认真对待。本书的主要目标是将一大类递归函数/开放表单转换为封闭形式。

Answer 2

开放表格通常作为要解决的等式给出。例如，

a(0) = 1            -- base case
a(n) = b * a(n-1)   -- recurrence relation

要将其转换为已关闭的表单，您将解决重现关系。在这种情况下，重复替换直到达到基本情况为您提供

a(n) = b * a(n-1) = b * b + a(n-2) = ... = b * b * ... * b * a(0) = b^n

这更有效，因为可以在 n 中以对数时间计算功率（即与log n 成比例），而原始递归关系在名词的

有许多技术用于解决递归关系。可以在wikipedia article中找到一些示例。重要的是要意识到不是所有的递归关系都可以解决，但事实上，大多数都无法解决（这就是编程很重要的原因！）