循环的时间复杂度

Question

foo = []
i = 1
while i < n:
    foo= foo + ["a"]
    i*=2

此代码的时间复杂度是多少？ 我的主意是： while循环执行log（n）迭代。对于每次迭代，都会创建新列表 因此，总时间复杂度为：O（log ^ 2（n））。

我是对的吗？

Answer 1

while循环迭代log（n）次。

foo + ["a"]：通过复制原始列表创建新列表。根据{{​​3}}，复制列表需要O（n）。

时间复杂度 =＆GT; 1 + 2 + 3 + ... + log（n） =＆GT; （log（n）+ 1）* log（n）/ 2 =＆GT;为O（log ² n）的

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我运行了timeit :( CPython 2.7.5 64位，Windows 7）

def f(n):
    foo = []
    i = 1
    while i < n:
        foo = foo + ["a"]
        i *= 2

import timeit
for n in range(20):
    print n, timeit.timeit('f({})'.format(2 ** n), 'from __main__ import f')

结果：

2**0 0.187083903003
2**1 0.455513095565
2**2 0.690063737582
2**3 0.925251130713
2**4 1.16173567555
2**5 1.38232866174
2**6 1.64922777752
2**7 1.89248633685
2**8 2.14087549485
2**9 2.36934465058
2**10 2.62737119511
2**11 2.91843160213
2**12 3.19988987374
2**13 3.43422677799
2**14 3.72119850214
2**15 4.00189195846
2**16 4.31630377356
2**17 4.62789416099
2**18 4.91062905834
2**19 5.24480246883

Answer 2

循环执行log（n）次迭代。

现在，假设foo = foo + ["a"]立即复制foo中的每个元素进行连接（而不是某些花式列表附加），那么对于每次迭代，最多也会有log(n)个副本

是的，它是log(n)*log(n) = log^2(n)

Answer 3

让我们假设循环迭代 n 而不是log（ n ）次，然后数组副本需要0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n -2次操作;并且 n +2需要

  

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 1/2· n ·（ n +1）< / p>

操作。为简单起见，让我们用 m 替换 n +2，所以 n +2 = m ，因此 n = m -2，

  

1/2· n ·（ n +1）= 1/2·（ m -2）·（ m -2 + 1）= 1/2·（ m -2）·（ m -1），

我们将在稍后使用

  

f（ m ）= 1/2·（ m -2）·（ m -1）。

现在因为循环的限制不是 n +2而是log（ n ），所以没有

  

f（ n +2）= 1/2·（（ n +2）-2）·（（ n +2 ）-1）= 1/2· n ·（ n +1）（见上面的发散系列）

但

  

f（log（ n ））= 1/2·（log（ n ） - 2）·（log（ n ） -1）

操作，

  

1/2·（log ² （ n ） - 3·log（ n ）+ 2）∈Ο（log ² （名词的））。 ■