Question

您好我需要了解以下算法的时间复杂度。

def complex(n):
    l=[]
    i=1
    while i<n:
        l=list(range(i))
        i*=2

我已经意识到它在循环中运行int（log（n，2））次，但我很难将范围（i）合并到最终表达式中。任何帮助表示感谢。

Answer 1

您已经知道它运行int(log(n, 2))次迭代。（您可以通过在循环中添加一个计数器并使用例如1,2,4,8,16,32,64等调用它来非常轻松地进行测试，并且每次都看到计数器上升1 n加倍。）

现在你想知道循环内部需要多长时间。在这里，您需要知道range和list函数的时间复杂度。我可以给你那些答案，事实上你可能会猜到它们，但除非你开始阅读CPython的源代码，否则你无法真正证明。所以，让我们用一些简单的时间进行测试：

import timeit
for i in range(20):
    n = 1 << i
    t = timeit.timeit(lambda: list(range(n))
    print('{} takes {}'.format(n, t))

如果你运行它，你会看到，一旦你超过32，加倍n似乎加倍了它所需的时间。那么，这意味着list(range(n))是O（n），对吗？

让我们验证一下是否合理。我不知道你是使用Python 2.x还是3.x，所以我会用两种方式解决。

在2.x中：range(n)必须计算n个整数，并构建一个列表n值。这似乎应该是O（n）。

在3.x中：range(n)只返回一个记住数字n的对象。那应该是O（1）。但是我们会在list上调用range，它必须迭代整个范围，计算所有n个整数，并构建长n个列的值。所以它仍然是O（n）。

将它放回到循环中，循环中有O（log n）次，每次O（i）复杂度。因此，总时间为O（1）+ O（2）+ O（4）+ O（...）+ O（n / 4）+ O（n / 2）+ O（n），其中log（n）总结中的步骤。换句话说，它是geometric sequence的总和。现在你可以解决问题了。（或者，如果没有，你就会陷入一个新的角色，如果你自己无法解决这个问题，有人可以为你解决这个问题。）

你得出结论是-(1-2**log(n,2))。这不太对，因为你想要一个封闭的范围，而不是半开范围，所以它应该是-(1-2**log(n+1,2))。但这可能是我没有清楚地解释它的错，而且没关系太多，所以让我们首先考虑你的版本。

2**log(n, 2)显然是n。（如果你不能很好地理解取幂和对数，你应该找到一个关于数学的教程，但同时你可以用各种不同的n值来测试它，以说服自己。）

同时，任何-(1-x)的{{1}}只是x。

所以，总和只是x-1。

如果您返回并使用正确的n-1代替log(n+1, 2)，则会获得log(n, 2)。

那么，这是正确的吗？让我们测试一些实际数字。

如果2n-1，您获得n = 16。如果1+2+4+8+16 = 31 = 2n-1，则获得n = 1024。你投掷的任何2的幂，你得到了正确的答案。对于非幂2，如1000，你会得到1+2+4+…+256+512+1024 = 2047 = 2n-1，这不完全是1+2+4+…+256+512+1000 = 2023，但它总是在2的因子内。（事实上，它是2n-1 ，或n + 2**(ceil(log(n, 2)) - 1其中n + m - 1为m的四舍五入为2的幂。）

无论如何，n，n-1，2n-1 ......这些都是n + 2**(ceil(log(n, 2)) - 1。

你可以通过使用O(n)的不同值对整个函数进行计时来回过头来测试这一点，并且看到，除了非常小的数字，当你加倍n它需要大约两倍的时间。< / p>

Answer 2

这个比它看起来更棘手，因为list(range(i))基于i，它在几何上增长。但是，有一种简单的方法来查看问题。相对于n，总共创建了多少个元素？您可以通过假设n的方便值（即2的幂）来简化问题。

如果你仍然陷入困境，那就从小处开始吧。如果n = 1，总共创建了多少个元素？然后看看你得到的答案是n = 2，n = 4，n = 8，依此类推。模式应该很快就会变得明显。

查找特定python算法的时间复杂度

2 个答案: