Question

作为输入，一个有序浮点数组，我需要找到每个(i,j)的{{1}}对A[i]*A[j]>=A[i]+A[j]的总数。我已经知道了天真的解决方案，在其他循环中使用循环，这将给我O（n ^ 2）算法，但我想知道是否有更优化的解决方案。

Answer 1

这是一个O(n)算法。

让我们看一下A * B >= A + B。

当A, B <= 0时，它始终是真的。
当A, B >= 2时，它始终是真的。
当A >= 1, B <= 1（或B >= 1, A <= 1）时，它始终为假。
当0 < A < 1, B < 0（或0 < B < 1, A < 0）时，它可以是true或false。
当1 < A < 2, B > 0（或1 < B < 2, A > 0）时，它可以是true或false。

这是一个可视化，由Wolfram Alpha和Geobits提供：

现在，进入算法。

*要查找一个数字介于0和1或1和2之间的对，我会执行与the 3SUM problem相似的操作。

*“选择2”这里指的是combinations。

计算两者都为负数的所有对

进行二元搜索以找到第一个正数（＆gt; 0）数字的索引 - O(log n)。

由于我们有索引，我们知道有多少数字是负数/零，我们只需要选择其中的2个，这样就是amountNonPositive * (amountNonPositive-1) / 2 - O(1)。
查找一个介于0和1之间的所有对

进行二元搜索以找到最后一个数字的索引＆lt; 1 - O(log n)。

从该索引开始作为右索引，最左边的元素作为左索引。

重复此操作，直到右侧索引＆lt; = 0 :(在O(n)中运行）
- 虽然产品小于总和，但减少左侧索引
- 计算大于左侧索引的所有元素
- 减少正确的指数
查找1到2之间的所有对

进行二元搜索以查找第一个数字的索引＆gt; 1 - O(log n)。

从该索引开始，作为左索引，最右边的元素作为右索引。

重复此操作，直到左侧索引＆gt; = 2 :(在O(n)中运行）
- 虽然产品大于总和，但减少正确的指数
- 计算大于正确索引的所有元素
- 增加左侧索引
使用两个数字＆gt; = 2
计算所有对
在最后一步结束时，我们处于第一个索引＆gt; = 2。

现在，从那里，我们只需要选择所有剩余数字中的2个，
所以它再次amountGreaterEqual2 * (amountGreaterEqual2-1) / 2 - O(1)。

Answer 2

您可以在O(n log n)中找到并打印对（以简写形式）。

对于每个A[i]，满足条件（1）的最小数量k。所有大于k的值也将满足条件。

使用二分搜索找到最低j A [j]＆gt; = k为O(log n)。

所以你可以找到并打印出这样的结果：

(i, j)
(1, no match)
(2, no match)
(3, >=25)
(4, >=20)
(5, >=12)
(6, >6)
(7, >7)
...
(n-1, n)

如果要打印所有组合，则为O（n ^ 2），因为组合数为O（n ^ 2）。

（*）要处理负数，它实际上需要更复杂一些，因为满足等式的数字可能超过一个范围。我并不完全确定它对于小的负数如何表现，但如果范围的数量不是绝对有限，那么我的解决方案不再优于O（n ^ 2）。

Answer 3

这是二分搜索，O（n log n）：

A*B = A+B处的每个号码都有一个断点。您可以将其减少到B = A / (A - 1)。一侧或另一侧的所有数字都适合它。如果有负数等没关系

如果A < 1，那么所有数字<= B都适合。
如果A > 1，那么所有数字>= B都适合。
如果A == 1，则没有匹配（除以零）。

（Wolfram Alpha link）

所以有些伪代码：

loop through i
    a = A[i]
    if(a == 1)
        continue
    if(a >= 2)
        count += A.length - i 
        continue

    j = binsearch(a / (a-1))

    if(j <= i)
        continue

    if(a < 1)
        count += j-i
    if(a > 1)
        count += A.length - j

Answer 4

这是一个O(n)算法，可以在数组元素为正时解决问题。

当元素为正数时，我们可以这样说：

A[i]*A[j] >= A[i]+A[j]时j>i A[k]*A[j] >= A[k]+A[j]，k k>i满足A[i]*A[j] < A[i]+A[j]（因为数组已排序）。
如果j>i A[i]*A[k] < A[i]+A[k] k，k<j int findNumOfPairs(float A[]) { start = 0; end = A.length - 1; numOfPairs = 0; while (start != end) { if (A[start]*A[end] >= A[start]+A[end]) { numOfPairs += end - start; end--; } else { start++; } } return numOfPairs; }满足{{1}}。

（当两个数字都是分数时，这些事实不成立，但无论如何都不会满足条件）

因此我们可以执行以下算法：

{{1}}

Answer 5

如果排除所有小于1.0的浮点数，因为任何数字倍数小于1，x * 0.3 = A [i] + A [j]，每个i <1。 j，所以我们只需要计算数组的数量来计算对的数量（i，j），我们可以使用关于排列和组合的公式来计算它。公式应为n（n-1）/ 2。

找到产品大于总和的对

5 个答案: